Seja um quadrado ABCD de lado a Prolongam-se os lados nos dois sentidos com comprimentos iguais. Determine tais comprimentos prolongados de modo que seus extremos formem um octógono regular.

Passo 1

O enunciado dá um quadrado ABCD de lado a e pede para prolongar cada lado em ambos os sentidos por um mesmo comprimento x, de modo que os oito extremos formem um octógono regular. Vamos usar coordenadas e a condição de lados iguais para encontrar x.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas com
A=(0,0),\quad B=(a,0),\quad C=(a,a),\quad D=(0,a).
Prolongando cada lado em ambos os sentidos por x, os vértices do octógono, em ordem, ficam:
(0,-x),\;(a,-x),\;(a+x,0),\;(a+x,a),\;(a,a+x),\;(0,a+x),\;(-x,a),\;(-x,0).

Passo 3

Calculamos dois comprimentos de lados adjacentes para ver que eles alternam entre dois valores:
Entre (0,-x) e (a,-x) (horizontal) o comprimento é
a.
Entre (a,-x) e (a+x,0) (diagonal) o comprimento é
\sqrt{(a+x - a)^2 + (0 - (-x))^2} =\sqrt{x^2 + x^2} =\sqrt{2}\,x.
Os outros lados repetem esses dois valores alternadamente.

Passo 4

Para ser um octógono regular, todos os lados devem ter o mesmo comprimento. Logo,
a = \sqrt{2}\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,a.

Resposta

x = \dfrac{a}{\sqrt{2}}.

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