Seja x a quantidade de números naturais de 12 algarismos que têm todos os algarismos maiores do 4. Sejay a quantidade de números naturais de 11 algarismos que têm exatamente 5 algarismos menores do que 5 , em qualquer posição. Determine o valor de \frac{y}{x}.
a) \frac{462}{5}
b) \frac{24}{25}
c) 5
d) \frac{2058}{25}
e) 84
Soluçāo: Alternativa E
i) Cálculo de x : para cada uma das 12 posições existem 5 possibilidades \rightarrow x=5^{12}
ii) Calculo de y: existem 5 algarismos menores que 5 (designados por A) e 6 algarismos maiores que 5 (designados por B ). Assim, as posições destes algarismos são as permutações de AAAAABBBBBB, onde existem \frac{11!}{5!\cdot 6!}=462 possibilidades.
Em principio. existem 5 possibilidades para cada um dos 11 algarismos, porém devese eliminar os números que iniciam por 0 (que é menor que 5 ).
Fixando 0 como 1^{\circ} algarismo deve-se permutar apenas os demais 10 algarismos, n forma \underline{0} A \mathrm{~A} \mathrm{~A} \mathrm{ABBBBB}, onde existem \frac{10!}{4!.6!}=210 posições e 5 possibilidades para cada um dos algarismos não nulos.
Logo:
y=\frac{11!}{5!.6!} 5^{11}-\frac{10!}{4!.6!} 5^{111}=462.5^{11}-210.5^{111}=5^{111}(2310-210)=5^{111} .2100=5^{12} .84

Passo 1

O enunciado define duas quantidades combinatórias em números naturais e pede \tfrac{y}{x}:
x é o número de inteiros de 12 algarismos em que cada dígito é maior que 4.
y é o número de inteiros de 11 algarismos que têm exatamente 5 dígitos menores que 5, contando todas as posições, mas sem permitir que o primeiro algarismo seja zero.
Para resolver, vamos usar o princípio multiplicativo e o número de combinações de posições (coeficientes binomiais).

Passo 2

Cada um dos 12 dígitos de um número em que todo dígito é maior que 4 pode ser escolhido em 5 formas ( 5,6,7,8,9). Não há restrição de zero no início porque zero não está nesses dígitos. Logo,
x = 5^{12}.

Passo 3

Sem ainda excluir números que comecem por zero, contamos todos os 11 dígitos com exatamente 5 dígitos “pequenos” (de 0 a 4) e 6 dígitos “grandes” (de 5 a 9).
  1. Escolhemos as 5 posições para os dígitos pequenos: \binom{11}{5}=462.
  2. Cada dígito pequeno tem 5 opções e cada dígito grande tem 5 opções.
    Portanto, o total inicial é
y' = 462 \times 5^{11}.

Passo 4

Agora subtraímos os números cujo primeiro dígito é zero (proibidos em inteiros de 11 algarismos).
  1. Fixamos o primeiro dígito como zero (uma escolha).
  2. Restam escolher 4 posições para dígitos pequenos entre os outros 10: \binom{10}{4}=210.
  3. Esses 4 dígitos pequenos podem ser qualquer um dos 5 valores de 0 a 4; os 6 dígitos grandes, qualquer um dos 5 valores de 5 a 9.
    Logo, o total proibido é
210 \times 5^{4} \times 5^{6} = 210 \times 5^{10}.
Assim
y = y' - \bigl(210 \times 5^{10}\bigr) = 462 \times 5^{11} - 210 \times 5^{10} = 5^{10}\bigl(462\cdot5 -210\bigr) = 5^{10}\times 2100.

Passo 5

Calculamos a razão:
\frac{y}{x} = \frac{5^{10}\times 2100}{5^{12}} = \frac{2100}{5^2} = \frac{2100}{25} = 84.

Resposta

84

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