Seja
a quantidade de números naturais de 12 algarismos que têm todos os algarismos maiores do 4. Sejay a quantidade de números naturais de 11 algarismos que têm exatamente 5 algarismos menores do que 5 , em qualquer posição. Determine
valor de
.
a)
b)
c) 5
d)
e) 84
Soluçāo: Alternativa E
i) Cálculo de
: para cada uma das 12 posições existem 5 possibilidades
ii) Calculo de y: existem 5 algarismos menores que 5 (designados por A) e 6 algarismos maiores que 5 (designados por
). Assim, as posições destes algarismos são as permutações de AAAAABBBBBB, onde existem
possibilidades.
Em principio. existem 5 possibilidades para cada um dos 11 algarismos, porém devese eliminar os números que iniciam por 0 (que é menor que 5 ).
Fixando 0 como
algarismo deve-se permutar apenas os demais 10 algarismos,
forma
, onde existem
posições e 5 possibilidades para cada um dos algarismos não nulos.
Logo:
a)
b)
c) 5
d)
e) 84
i) Cálculo de
ii) Calculo de y: existem 5 algarismos menores que 5 (designados por A) e 6 algarismos maiores que 5 (designados por
Em principio. existem 5 possibilidades para cada um dos 11 algarismos, porém devese eliminar os números que iniciam por 0 (que é menor que 5 ).
Fixando 0 como
Logo:
Passo 1
O enunciado define duas quantidades combinatórias em números naturais e pede
:
– é o número de inteiros de 12 algarismos em que cada dígito é maior que 4.
– é o número de inteiros de 11 algarismos que têm exatamente 5 dígitos menores que 5, contando todas as posições, mas sem permitir que o primeiro algarismo seja zero.
Para resolver, vamos usar o princípio multiplicativo e o número de combinações de posições (coeficientes binomiais).
–
–
Para resolver, vamos usar o princípio multiplicativo e o número de combinações de posições (coeficientes binomiais).
Passo 2
Cada um dos 12 dígitos de um número em que todo dígito é maior que 4 pode ser escolhido em 5 formas (
). Não há restrição de zero no início porque zero não está nesses dígitos. Logo,
Passo 3
Sem ainda excluir números que comecem por zero, contamos todos os 11 dígitos com exatamente 5 dígitos “pequenos” (de 0 a 4) e 6 dígitos “grandes” (de 5 a 9).
- Escolhemos as 5 posições para os dígitos pequenos:
. - Cada dígito pequeno tem 5 opções e cada dígito grande tem 5 opções.
Portanto, o total inicial é
Passo 4
Agora subtraímos os números cujo primeiro dígito é zero (proibidos em inteiros de 11 algarismos).
- Fixamos o primeiro dígito como zero (uma escolha).
- Restam escolher 4 posições para dígitos pequenos entre os outros 10:
. - Esses 4 dígitos pequenos podem ser qualquer um dos 5 valores de 0 a 4; os 6 dígitos grandes, qualquer um dos 5 valores de 5 a 9.
Logo, o total proibido é
Assim
Passo 5
Calculamos a razão:
Resposta
84