Seja R a relação no conjunto de todas as pessoas que já visitaram uma página particular na Web tal que x R y se e somente se a pessoa x e a pessoa y seguiram o mesmo conjunto de links, começando nessa página da Web (indo de página da Web para página da Web até que parassem de usar a Web). Mostre que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define uma relação R num conjunto P de pessoas que já visitaram uma certa página na Web. Para quaisquer duas pessoas x,y\in P, dizemos
xRy \quad\text{se e somente se}\quad \text{as pessoas \(x\) e \(y\) seguiram exatamente o mesmo conjunto de links a partir daquela página.}á
O que precisamos mostrar é que R é uma relação de equivalência, ou seja, que ela satisfaz as três propriedades:
  1. Reflexividade: \forall x\in P,\;xRx.
  2. Simetria: \forall x,y\in P,\;xRy\implies yRx.
  3. Transitividade: \forall x,y,z\in P,\;xRy\land yRz\implies xRz.

Passo 2

(Reflexividade)
Pegue qualquer pessoa x\in P. Ela segue um certo conjunto de links — e, logicamente, esse conjunto coincide consigo própria. Logo, x e x seguem o mesmo conjunto de links, o que nos dá xRx.

Passo 3

(Simetria)
Suponha que xRy. Por definição, isso significa que o conjunto de links seguidos por x é igual ao conjunto de links seguidos por y. Mas igualdade de conjuntos é uma relação simétrica, isto é, se A=B então B=A. Portanto, y também segue o mesmo conjunto que x, logo yRx.

Passo 4

(Transitividade)
Suponha que xRy e yRz. Então o conjunto de links de x é igual ao de y, e o de y é igual ao de z. Pela transitividade da igualdade de conjuntos, o conjunto de x coincide com o de z. Logo xRz.

Resposta

Como R é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que R é relação de equivalência.

Exercícios de Livros Relacionados