Seja
a relação no conjunto de todas as URLs (ou endereços na Web) tal que
se e somente se a página na Web em
é a mesma que a página na Web em
. Mostre que
é uma relação de equivalência.
Passo 1
O enunciado define uma relação
no conjunto de todas as URLs tal que, para duas URLs
e
, vale
Para mostrar que
é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
(Propriedade de reflexividade)
Para qualquer URL , a página em
é obviamente a mesma que ela própria. Logo,
para todo
. Assim,
é reflexiva.
Para qualquer URL
Passo 3
(Propriedade de simetria)
Suponha que . Isso significa que a página em
é a mesma que a página em
. Mas “ser a mesma” é uma relação que não depende de ordem, então a página em
também é a mesma que a página em
. Portanto,
Suponha que
Assim,
é simétrica.
Passo 4
(Propriedade de transitividade)
Suponha e
. Então a página em
coincide com a de
, e a de
coincide com a de
. Pela transitividade da igualdade de páginas, a página em
coincide com a de
. Logo,
Suponha
Assim,
é transitiva.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência.