Seja R a relação no conjunto de todas as URLs (ou endereços na Web) tal que x R y se e somente se a página na Web em x é a mesma que a página na Web em y. Mostre que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define uma relação R no conjunto de todas as URLs tal que, para duas URLs x e y, vale
xRy \quad\Longleftrightarrow\quad \text{a página em }x\text{ é a mesma que a página em }y.áéá
Para mostrar que R é uma relação de equivalência, precisamos verificar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

(Propriedade de reflexividade)
Para qualquer URL x, a página em x é obviamente a mesma que ela própria. Logo, xRx para todo x. Assim, R é reflexiva.

Passo 3

(Propriedade de simetria)
Suponha que xRy. Isso significa que a página em x é a mesma que a página em y. Mas “ser a mesma” é uma relação que não depende de ordem, então a página em y também é a mesma que a página em x. Portanto,
xRy \;\Longrightarrow\; yRx.
Assim, R é simétrica.

Passo 4

(Propriedade de transitividade)
Suponha xRy e yRz. Então a página em x coincide com a de y, e a de y coincide com a de z. Pela transitividade da igualdade de páginas, a página em x coincide com a de z. Logo,
xRy \;\wedge\; yRz \;\Longrightarrow\; xRz.
Assim, R é transitiva.

Resposta

A relação R é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência.

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