Mostre que a relação de equivalência lógica no conjunto de todas as proposições compostas é uma relação de equivalência. Quais são as classes de equivalência de
e
?
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos que a relação “equivalência lógica” no conjunto
de todas as proposições compostas é de fato uma relação de equivalência (isto é, que é reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, caracterizarmos as classes de equivalência de
(tautologia) e de
(contradição). O conteúdo aplicado é lógica proposicional e teoria de relações de equivalência.
Passo 2
Definimos a relação
em
por
Reflexividade: para qualquer
, o enunciado
é uma tautologia (sempre verdadeiro), logo
Passo 3
Simetria: suponha
. Então
Mas
é logicamente equivalente a
, de modo que
isto é,
.
Passo 4
Transitividade: suponha
e
. Então
Da composição lógica de tautologias segue
logo
.
Passo 5
Concluímos que
é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são, por definição,
Passo 6
Caracterização:
-
é o conjunto de todas as tautologias (proposições verdadeiras em toda interpretação). -
é o conjunto de todas as contradições (proposições falsas em toda interpretação).