Mostre que a relação de equivalência lógica no conjunto de todas as proposições compostas é uma relação de equivalência. Quais são as classes de equivalência de \mathbf{V} e \mathbf{F} ?

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos que a relação “equivalência lógica” no conjunto \mathcal{P} de todas as proposições compostas é de fato uma relação de equivalência (isto é, que é reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, caracterizarmos as classes de equivalência de \mathbf{V} (tautologia) e de \mathbf{F} (contradição). O conteúdo aplicado é lógica proposicional e teoria de relações de equivalência.

Passo 2

Definimos a relação \equiv em \mathcal{P} por
\varphi \equiv \psi \quad\text{se, e somente se,}\quad \models (\varphi \leftrightarrow \psi).
Reflexividade: para qualquer \varphi\in\mathcal{P}, o enunciado \varphi\leftrightarrow\varphi é uma tautologia (sempre verdadeiro), logo \varphi \equiv \varphi.

Passo 3

Simetria: suponha \varphi \equiv \psi. Então
\models (\varphi \leftrightarrow \psi).
Mas (\varphi \leftrightarrow \psi) é logicamente equivalente a (\psi \leftrightarrow \varphi), de modo que
\models (\psi \leftrightarrow \varphi),
isto é, \psi \equiv \varphi.

Passo 4

Transitividade: suponha \varphi \equiv \psi e \psi \equiv \chi. Então
\models (\varphi \leftrightarrow \psi) \quad\text{e}\quad \models (\psi \leftrightarrow \chi).
Da composição lógica de tautologias segue
\models (\varphi \leftrightarrow \chi),
logo \varphi \equiv \chi.

Passo 5

Concluímos que \equiv é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são, por definição,
[\mathbf{V}] = \{\varphi\in\mathcal{P}\mid \varphi \equiv \mathbf{V}\}, \quad [\mathbf{F}] = \{\varphi\in\mathcal{P}\mid \varphi \equiv \mathbf{F}\}.

Passo 6

Caracterização:
  • [\mathbf{V}] é o conjunto de todas as tautologias (proposições verdadeiras em toda interpretação).
  • [\mathbf{F}] é o conjunto de todas as contradições (proposições falsas em toda interpretação).

Resposta

[\mathbf{V}] = conjunto de todas as tautologias. [\mathbf{F}] = conjunto de todas as contradições.

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