Prove cada uma das seguintes afirmações:
Se a ordem do inteiro a, módulo p > 2 (p primo) é 2 k , então a^k equiv-1 (bmod p).

Passo 1

O enunciado diz que p>2 é primo e que o inteiro a tem ordem exatamente 2k no grupo multiplicativo (Z/pZ)^times. Ou seja, 2k é o menor inteiro positivo tal que
a^2kequiv1pmod p
Nosso objetivo é mostrar que
a^kequiv-1pmod p
Para isso vamos usar as propriedades de ordem de um elemento em um grupo e o fato de que, em Z/pZ, a equação x^2equiv1 só tem as soluções xequivpm1.

Passo 2

Pela definição de ordem, temos
a^2kequiv1pmod p
Logo
l(a^kr)^2 equiv1pmod p

Passo 3

A equação
x^2equiv1pmod p
quando p é primo só admite as soluções
xequiv1pmod p ou xequiv-1pmod p
Portanto de l(a^kr)^2equiv1 segue que
a^kequiv1pmod p ou a^kequiv-1pmod p

Passo 4

Se porventura tivéssemos a^kequiv1pmod p, então a ordem de a seria um divisor de k, pois o menor expoente que envia a em 1 seria no máximo k. Isso contradiz o fato dado de que a ordem de a é exatamente 2k>k. Logo não pode acontecer a^kequiv1pmod p.

Passo 5

Como a^knotequiv1pmod p, a única outra possibilidade da etapa anterior é
a^kequiv-1pmod p

Resposta

a^kequiv-1pmod p

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