Prove cada uma das seguintes afirmações:
Se a ordem do inteiro a, módulo p > 2 (p primo) é 2 k , então
.
Se a ordem do inteiro a, módulo p > 2 (p primo) é 2 k , então
Passo 1
O enunciado diz que
é primo e que o inteiro
tem ordem exatamente
no grupo multiplicativo
. Ou seja,
é o menor inteiro positivo tal que
Nosso objetivo é mostrar que
Para isso vamos usar as propriedades de ordem de um elemento em um grupo e o fato de que, em
, a equação
só tem as soluções
.
Passo 2
Pela definição de ordem, temos
Logo
Passo 3
A equação
quando
é primo só admite as soluções
Portanto de
segue que
Passo 4
Se porventura tivéssemos
, então a ordem de
seria um divisor de
, pois o menor expoente que envia
em
seria no máximo
. Isso contradiz o fato dado de que a ordem de
é exatamente
. Logo não pode acontecer
.
Passo 5
Como
, a única outra possibilidade da etapa anterior é