Seja ( an ) uma seqüência em R. Se as subseqüências ( a2 n ), ( a2 n+1 ) e (a3n+1) convergern para a, b e c, prove que a=b= c que (an) converge também para esse valor comum.

Passo 1

O enunciado considera uma sequência real l(anr) e três de suas subsequências:
  1. l(a2nr) que converge para a.
  2. l(a2n+1r) que converge para b.
  3. l(a3n+1r) que converge para c.
    Nosso objetivo é usar a definição de convergência de subsequências e a existência de índices em comum entre elas para provar que a=b=c e então mostrar que l(anr) também converge para esse valor comum.

Passo 2

Mostramos primeiro que b=c. Note que os termos de l(a3n+1r) com n par são também termos ímpares da sequência original. De fato, se n=2k então
3n+1 = 3(2k)+1 = 6k+1
é ímpar, e a6k+1 pertence tanto à subsequência l(a2n+1r) (os ímpares) quanto à l(a3n+1r). Assim existe uma “subsubsequência” comum l(a6k+1r). Como
l(a2n+1r)to b e l(a3n+1r)to c, toda subsequência comum deve convergir para ambos os limites. Logo
b = c

Passo 3

Agora mostramos que a=c. Observe que, para n ímpar, 3n+1 é par, pois 3nequiv npmod2. Tomando n=2k+1 temos
3n+1 = 3(2k+1)+1 = 6k+4 = 2(3k+2),
que é um índice par. Logo os termos a3(2k+1)+1=a6k+4 pertencem simultaneamente à subsequência dos pares l(a2nr) e à l(a3n+1r). Assim existe uma subsequência comum infinita l(a6k+4r). Como l(a2nr)to a e l(a3n+1r)to c, concluímos que
a = c

Passo 4

Das igualdades b=c e a=c obtemos imediatamente
a = b = c

Passo 5

Por fim, para provar que l(anr) converge para esse valor comum L:=a=b=c, tomamos varepsilon>0. Como l(a2nr)to L, existe N1 tal que para todo n>= N1 vale
l|a2n-Lr| < varepsilon
Como l(a2n+1r)to L, existe N2 tal que para todo n>= N2 vale
l|a2n+1-Lr| < varepsilon
Seja N = max2N1,2N2+1. Então, para todo n>= N:
  • Se n é par, diga n=2k; como k>= N1, temos l|an-Lr| = l|a2k-Lr|<varepsilon.
  • Se n é ímpar, diga n=2k+1; como k>= N2, temos l|an-Lr| = l|a2k+1-Lr|<varepsilon.
Portanto l(anr)to L.

Resposta

A sequência l(anr) converge para o valor comum
L = a = b = c

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