Seja ( ) uma seqüência em . Se as subseqüências ( ), ( ) e convergern para e , prove que c que converge também para esse valor comum.
Passo 1
O enunciado considera uma sequência real e três de suas subsequências:
que converge para .
que converge para .
que converge para .
Nosso objetivo é usar a definição de convergência de subsequências e a existência de índices em comum entre elas para provar que e então mostrar que também converge para esse valor comum.
Passo 2
Mostramos primeiro que . Note que os termos de com par são também termos ímpares da sequência original. De fato, se então
é ímpar, e pertence tanto à subsequência (os ímpares) quanto à . Assim existe uma “subsubsequência” comum . Como e , toda subsequência comum deve convergir para ambos os limites. Logo
Passo 3
Agora mostramos que . Observe que, para ímpar, é par, pois . Tomando temos
que é um índice par. Logo os termos pertencem simultaneamente à subsequência dos pares e à . Assim existe uma subsequência comum infinita . Como e , concluímos que
Passo 4
Das igualdades e obtemos imediatamente
Passo 5
Por fim, para provar que converge para esse valor comum , tomamos . Como , existe tal que para todo vale
Como l(a2n+1r)to L, existe N2 tal que para todo n>= N2 vale
l|a2n+1-Lr| < varepsilon
Seja N = max2N1,2N2+1. Então, para todo n>= N:
Se n é par, diga n=2k; como k>= N1, temos l|an-Lr| = l|a2k-Lr|<varepsilon.
Se n é ímpar, diga n=2k+1; como k>= N2, temos l|an-Lr| = l|a2k+1-Lr|<varepsilon.
Portanto l(anr)to L.
Resposta
A sequência l(anr) converge para o valor comum
L = a = b = c
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 471