(UF-PI) Seja K subset N um subconjunto dos números naturais positivos cujos elementos são quadrados perfeitos, ou seja, K=a=b^2 ; b in N^*. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso).
  1. ( ) Se x, y in K, então x+y in K.
  2. ( ) Se x, y in K, então x y in K.
  3. ( ) Se x, y in K, então m.d.c (x, y) in K.
  4. ( ) Se x in K, então para todo n in N Rightarrow x^n in K.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
K = ,a=b^2 mid binN^*
ou seja, K é o conjunto dos quadrados perfeitos em N. Precisamos verificar se K é fechado nas operações: soma, produto, máximo divisor comum (m.d.c.) e potenciação.

Passo 2

Verificar a soma: se x=b^2 e y=c^2, então
x+y = b^2 + c^2
Em geral, b^2+c^2 não é um quadrado perfeito (por exemplo, 1^2+1^2=2 não é quadrado). Logo, a soma não fica em K.
Resposta: falso.

Passo 3

Verificar o produto: se x=b^2 e y=c^2, então
xy = b^2cdot c^2 = (b,c)^2,
que é claramente um quadrado perfeito. Logo, o produto fica em K.
Resposta: verdadeiro.

Passo 4

Verificar o m.d.c.:
gcd(b^2,c^2) = l(gcd(b,c)r)^2,
pois o maior divisor comum de potências é a potência do maior divisor comum. Assim, gcd(x,y) é um quadrado perfeito, ficando em K.
Resposta: verdadeiro.

Passo 5

Verificar a potenciação: se x=b^2 e ninN, então
x^n = (b^2)^n = b^2n = (b^n)^2,
que é um quadrado perfeito. Logo, x^nin K para todo n.
Resposta: verdadeiro.

Resposta

  1. F
  2. V
  3. V
  4. V

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