Seja gn uma sucessão de funções de variação limitada em [a, b] com a seguinte propriedade: Para cada epsilon>0 existe N tal que se n >= N, m >= N, então V(gn-gm)<epsilon. Prove que existe uma função g, de variação limitada em [a b], tal que V(gn-g) 0 quando n infty.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência gn de funções de variação limitada em [a,b] tal que, para todo epsilon>0, existe N com
se n>= N e m>= N, Vl(gn-gmr)<epsilon
Em outras palavras, a sequência é de Cauchy no “métrico” dado pela variação total. Precisamos provar que existe uma função g, também de variação limitada em [a,b], com
Vl(gn-gr);xrightarrow[ntoinfty],0

Passo 2

Mostramos primeiro que gn é Cauchy em norma uniforme. De fato, para todo xin[a,b] vale
l|gn(x)-gm(x)r| ;=;l|(gn-gm)(x)-(gn-gm)(a)r| ;<=;Vl(gn-gmr),
pois a variação total controla a maior diferença pontual. Logo, dado epsilon>0, para n,m>= N temos
supxin[a,b]l|gn(x)-gm(x)r|<= V(gn-gm)<epsilon,
ou seja, gn converge uniformemente num limite gcolon[a,b]to R. Definimos
g(x)=limntoinftygn(x),
e temos convergência uniforme gnto g.

Passo 3

Vamos mostrar que g tem variação limitada e que, para grandes índices, V(g-gm) fica pequeno. Fixe m grande o suficiente (por exemplo m>= N). Considere a sequência de funções
fn = gn - gm
Sabemos que fnto g-gm uniformemente quando ntoinfty. Um fato clássico sobre variação total é a semi-continuidade inferior: se fnto f uniformemente então
V(f);<=;liminfntoinftyV(fn)
Aplicando isso a fn, obtemos
Vl(g-gmr);<=;liminfntoinftyVl(gn-gmr)
Mas para m>= N temos liminfntoinftyV(gn-gm)<=epsilon. Logo
Vl(g-gmr)<=epsilon
Em particular, escolhendo m>= N, V(g-gm) é finito, e então
V(g);<=;V(gm)+V(g-gm)<infty,
mostrando que g é de variação limitada.

Passo 4

Finalmente, para n>= N e m>= N já temos V(gn-gm)<epsilon. Fazendo mtoinfty na desigualdade
Vl(gn-gr);<=;liminfmtoinftyVl(gn-gmr)
(usando novamente semi-continuidade inferior em gn-gmto gn-g), obtemos
Vl(gn-gr)<=epsilon para todo n>= N
Portanto V(gn-g)to0 quando ntoinfty.

Resposta

Definindo
g(x)=limntoinftygn(x),
temos g de variação limitada em [a,b] e
Vl(gn-gr);xrightarrow[ntoinfty]0

Exercícios de Livros Relacionados