Seja uma sucessão de funções de variação limitada em com a seguinte propriedade: Para cada existe tal que se , então . Prove que existe uma função , de variação limitada em , tal que quando .
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência de funções de variação limitada em tal que, para todo , existe com
Em outras palavras, a sequência é de Cauchy no “métrico” dado pela variação total. Precisamos provar que existe uma função , também de variação limitada em , com
Passo 2
Mostramos primeiro que gn é Cauchy em norma uniforme. De fato, para todo xin[a,b] vale
pois a variação total controla a maior diferença pontual. Logo, dado epsilon>0, para n,m>= N temos
supxin[a,b]l|gn(x)-gm(x)r|<= V(gn-gm)<epsilon,
ou seja, gn converge uniformemente num limite gcolon[a,b]to R. Definimos
g(x)=limntoinftygn(x),
e temos convergência uniforme gnto g.
Passo 3
Vamos mostrar que g tem variação limitada e que, para grandes índices, V(g-gm) fica pequeno. Fixe m grande o suficiente (por exemplo m>= N). Considere a sequência de funções
fn = gn - gm
Sabemos que fnto g-gm uniformemente quando ntoinfty. Um fato clássico sobre variação total é a semi-continuidade inferior: se fnto f uniformemente então
V(f);<=;liminfntoinftyV(fn)
Aplicando isso a fn, obtemos
Vl(g-gmr);<=;liminfntoinftyVl(gn-gmr)
Mas para m>= N temos liminfntoinftyV(gn-gm)<=epsilon. Logo
Vl(g-gmr)<=epsilon
Em particular, escolhendo m>= N, V(g-gm) é finito, e então
V(g);<=;V(gm)+V(g-gm)<infty,
mostrando que g é de variação limitada.
Passo 4
Finalmente, para n>= N e m>= N já temos V(gn-gm)<epsilon. Fazendo mtoinfty na desigualdade
Vl(gn-gr);<=;liminfmtoinftyVl(gn-gmr)
(usando novamente semi-continuidade inferior em gn-gmto gn-g), obtemos
Vl(gn-gr)<=epsilon para todo n>= N
Portanto V(gn-g)to0 quando ntoinfty.
Resposta
Definindo
g(x)=limntoinftygn(x),
temos g de variação limitada em [a,b] e
Vl(gn-gr);xrightarrow[ntoinfty]0
Cálculo - Walter Rudin - Princípios de Análise Matemática - 2ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 9