Seja (a, b, c) um terno pitagórico tal que c=b+2. Prove que existe r in I N tal que a=2 r, b=r^2-1 e c=r^2+1. Esse terno é primitivo?

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar um terno pitagórico (a,b,c) satisfazendo
a^2 + b^2 = c^2
e ao mesmo tempo
c = b + 2
Para isso vamos usar a classificação geral de ternos pitagóricos: dados inteiros u>v>0, todo terno (não necessariamente primitivo) pode ser escrito como
a = 2,u,v, b = u^2 - v^2, c = u^2 + v^2

Passo 2

Substituindo b e c na condição c = b + 2, obtemos
u^2 + v^2 ;=; (u^2 - v^2) + 2 Longrightarrow u^2 + v^2 = u^2 - v^2 + 2 Longrightarrow 2,v^2 = 2
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v^2 = 1 Longrightarrow v = 1

Passo 3

Como v=1, a fórmula geral se reduz a
a = 2,ucdot 1 = 2u, b = u^2 - 1, c = u^2 + 1
Basta então definir r = uinN. Assim
a = 2r, b = r^2 - 1, c = r^2 + 1,
blocando a forma desejada.

Passo 4

Pergunta-se se esse terno é primitivo, isto é, se gcd(a,b,c)=1. Como
a = 2r, b = r^2-1, c = r^2+1,
podemos calcular, por exemplo,
gcd(2r,r^2-1) e depois conferir com r^2+1.
  • Se r for par, digamos r=2k, então b = 4k^2-1 é ímpar e gcd(2r,b)=1.
  • Se r for ímpar, r=2k+1, então b=(2k+1)^2-1=4k(k+1) é múltiplo de 4 e gcd(2r,b)=2.
Logo o terno é primitivo exatamente quando r é par.

Resposta

Existe rinN tal que
a = 2r, b = r^2 - 1, c = r^2 + 1
Esse terno é primitivo se, e somente se, r for par.

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