Seja (a, b, c) um terno pitagórico tal que
. Prove que existe
tal que
. Esse terno é primitivo?
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar um terno pitagórico
satisfazendo
e ao mesmo tempo
Para isso vamos usar a classificação geral de ternos pitagóricos: dados inteiros
, todo terno (não necessariamente primitivo) pode ser escrito como
Passo 2
Substituindo
e
na condição
, obtemos
logo
Passo 3
Como
, a fórmula geral se reduz a
Basta então definir
. Assim
blocando a forma desejada.
Passo 4
Pergunta-se se esse terno é primitivo, isto é, se
. Como
podemos calcular, por exemplo,
e depois conferir com
.
- Se
for par, digamos , então é ímpar e . - Se
for ímpar, , então é múltiplo de 4 e .
Logo o terno é primitivo exatamente quando
é par.
Resposta
Existe
tal que
Esse terno é primitivo se, e somente se,
for par.