Há uma conjectura segundo a qual somente cinco números de Fibonacci são números triangulares. Ache-os.
Passo 1
O enunciado quer achar todos os termos da sequência de Fibonacci que também são números triangulares.
A sequência de Fibonacci satisfaz
A sequência de Fibonacci
e os números triangulares são dados por
Logo, precisamos resolver a equação diofantina
Passo 2
Para que
seja triangular, deve existir
tal que
Multiplicando ambos os lados por 8 e somando 1, obtemos a condição clássica de triangularidade:
Portanto,
precisa ser um quadrado perfeito ímpar.
Passo 3
Basta então testar os primeiros termos de Fibonacci e ver para quais
a quantidade
é quadrado. Calculando:
Para
tem-se
e
logo
e
.
Para
tem-se
e
novamente
e
.
Para
vem
e
logo não triangular.
Para
vem
e
logo
e
.
Para
verifica-se que
não é quadrado.
Para
vem
e
logo
e
.
Para
não dá quadrado, mas para
vem
e
logo
e
.
Testes para
até valores bem grandes não revelam outros casos (é exatamente disso que trata a conjectura).
Resposta
Os cinco termos de Fibonacci que são triangulares são