Há uma conjectura segundo a qual somente cinco números de Fibonacci são números triangulares. Ache-os.

Passo 1

O enunciado quer achar todos os termos da sequência de Fibonacci que também são números triangulares.
A sequência de Fibonacci Fn satisfaz
F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2(n>=3),
e os números triangulares são dados por
Tm = m(m+1)2(m>=1)
Logo, precisamos resolver a equação diofantina
Fn = Tm = m(m+1)2

Passo 2

Para que Fn seja triangular, deve existir m tal que
Fn = m(m+1)2
Multiplicando ambos os lados por 8 e somando 1, obtemos a condição clássica de triangularidade:
8,Fn + 1 = 4m^2 + 4m + 1 = (2m+1)^2
Portanto, 8Fn+1 precisa ser um quadrado perfeito ímpar.

Passo 3

Basta então testar os primeiros termos de Fibonacci e ver para quais n a quantidade 8Fn+1 é quadrado. Calculando:
Para n=1 tem-se F1=1 e
8F1+1 = 8cdot1+1 = 9 = 3^2,
logo m=(3-1)/2=1 e F1=T1=1.
Para n=2 tem-se F2=1 e
8F2+1 = 9 = 3^2,
novamente m=1 e F2=T1=1.
Para n=3 vem F3=2 e
8cdot2+1 = 17(não é quadrado), ãé
logo não triangular.
Para n=4 vem F4=3 e
8cdot3+1 = 25 = 5^2,
logo m=(5-1)/2=2 e F4=T2=3.
Para n=5,6,7 verifica-se que 8Fn+1 não é quadrado.
Para n=8 vem F8=21 e
8cdot21+1 = 169 = 13^2,
logo m=(13-1)/2=6 e F8=T6=21.
Para n=9 não dá quadrado, mas para n=10 vem F10=55 e
8cdot55+1 = 441 = 21^2,
logo m=(21-1)/2=10 e F10=T10=55.
Testes para n>10 até valores bem grandes não revelam outros casos (é exatamente disso que trata a conjectura).

Resposta

Os cinco termos de Fibonacci que são triangulares são
F1=1, F2=1, F4=3, F8=21, F10=55

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