Sejam alpha in beta irracionais. Se alpha-beta é racional, prove que alpha+2 beta é irracional.

Passo 1

O enunciado dá dois números reais alpha e beta, ambos irracionais, e afirma que
alpha - beta in Q
Precisamos mostrar que
alpha + 2beta notin Q
O conteúdo usado será a ideia de prova por contradição e as propriedades de fechamento dos números racionais: soma, diferença e multiplicação (por racional não nulo) de números racionais continuam racionais.

Passo 2

Defina
r = alpha - beta,
que é racional por hipótese. Suponha, para chegar a uma contradição, que
alpha + 2beta = s
é racional.

Passo 3

Da definição de r temos
alpha = beta + r
Substituindo em alpha + 2beta = s obtém-se
(beta + r) + 2beta = s,
isto é,
3beta + r = s

Passo 4

Da equação 3beta + r = s segue
3beta = s - r
Como s e r são racionais, a diferença s - r também é racional; então
beta = s - r3
é racional. Isso contradiz a hipótese de que beta é irracional.

Resposta

Portanto, alpha + 2beta não pode ser racional, ou seja,
alpha + 2beta é irracional é

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