Sejam
irracionais. Se
é racional, prove que
é irracional.
Passo 1
O enunciado dá dois números reais
e
, ambos irracionais, e afirma que
Precisamos mostrar que
O conteúdo usado será a ideia de prova por contradição e as propriedades de fechamento dos números racionais: soma, diferença e multiplicação (por racional não nulo) de números racionais continuam racionais.
Passo 2
Defina
que é racional por hipótese. Suponha, para chegar a uma contradição, que
é racional.
Passo 3
Da definição de
temos
Substituindo em
obtém-se
isto é,
Passo 4
Da equação
segue
Como
e
são racionais, a diferença
também é racional; então
é racional. Isso contradiz a hipótese de que
é irracional.
Resposta
Portanto,
não pode ser racional, ou seja,