Se cos 2 theta é irracional, prove que sen theta e tg theta também são irracionais.

Passo 1

O enunciado afirma que cos2theta é irracional e pede para mostrar que nem sintheta nem tantheta podem ser racionais. Vamos usar duas identidades trigonométricas fundamentais:
sin^2theta = 1-cos2theta2,
tan^2theta = 1-cos2theta1+cos2theta,
e um argumento por contradição baseado na propriedade de que, se um número real ao quadrado é racional, então esse número também é racional.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que sintheta seja racional. Então sin^2theta é racional. Mas pela identidade
sin^2theta = 1-cos2theta2,
o numerador 1-cos2theta é irracional (pois cos2theta é irracional) e dividir esse número irracional por 2 (que é racional) resulta ainda em número irracional. Logo sin^2theta seria irracional, contradizendo a hipótese de que sin^2theta é racional. Portanto sintheta é irracional.

Passo 3

De modo análogo, suponha que tantheta seja racional. Então tan^2theta é racional. Mas pela identidade
tan^2theta = 1-cos2theta1+cos2theta,
o numerador 1-cos2theta e o denominador 1+cos2theta são irracionais, e a razão de dois irracionais dessa forma não pode ser racional (pois, se fosse, isolando cos2theta obteríamos um valor racional, contradizendo a hipótese). Logo tan^2theta seria irracional, o que contradiz a hipótese de racionalidade de tan^2theta. Assim tantheta é irracional.

Resposta

sintheta e tantheta são irracionais.

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