Se
é irracional, prove que sen
e tg
também são irracionais.
Passo 1
O enunciado afirma que
é irracional e pede para mostrar que nem
nem
podem ser racionais. Vamos usar duas identidades trigonométricas fundamentais:
e um argumento por contradição baseado na propriedade de que, se um número real ao quadrado é racional, então esse número também é racional.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então
é racional. Mas pela identidade
o numerador
é irracional (pois
é irracional) e dividir esse número irracional por
(que é racional) resulta ainda em número irracional. Logo
seria irracional, contradizendo a hipótese de que
é racional. Portanto
é irracional.
Passo 3
De modo análogo, suponha que
seja racional. Então
é racional. Mas pela identidade
o numerador
e o denominador
são irracionais, e a razão de dois irracionais dessa forma não pode ser racional (pois, se fosse, isolando
obteríamos um valor racional, contradizendo a hipótese). Logo
seria irracional, o que contradiz a hipótese de racionalidade de
. Assim
é irracional.