Construir geometricamente, com régua e compasso, os pontos de abscissas raiz3, raiz2+raiz3 e raiz5-raiz3.

Passo 1

Resumindo: queremos três pontos sobre uma reta horizontal com abscissas raiz3, raiz2+raiz3 e raiz5-raiz3. O truque é montar segmentos de comprimento raiz2, raiz3 e raiz5 via triângulos retângulos, depois usar o compasso para somar ou subtrair segmentos. Precisamos do modelo “reta – origem – unidade” e das operações padrão de régua e compasso.

Passo 2

Construção de raiz2:
1. Sobre a reta, marque O e U tais que OU=1.
2. Em U, erga perpendicular e marque V com UV=1.
3. Trace o segmento OV. No triângulo retângulo OUV, a hipotenusa OV vale
OV = raizOU^2 + UV^2 = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
4. Com o compasso aberto em OV e centro em O, faça um arco que corta a reta em W. Então OW = raiz2.

Passo 3

Construção de raiz3:
1. Com OW=raiz2 na reta, erga em W uma perpendicular e marque X tal que WX=1.
2. Una O a X. No triângulo retângulo OWX, a hipotenusa OX vale
OX = raizOW^2 + WX^2 = raiz(raiz2)^2 + 1^2 = raiz3
3. Transfira esse comprimento: com o compasso em OX e centro em O, trace arco que corta a reta em P. Então OP = raiz3. Este é o ponto de abscissa raiz3.

Passo 4

Construção de raiz2 + raiz3:
1. Já temos OW = raiz2 e OP = raiz3.
2. Abra o compasso em OP (raio raiz3), coloque o centro em W e faça arco que corta a reta em Q.
3. Então
OQ = OW + WQ = raiz2 + raiz3
O ponto Q é o de abscissa raiz2+raiz3.

Passo 5

Construção de raiz5:
1. Sobre a reta, marque R tal que OR=2 (basta copiar duas vezes o segmento OU).
2. Em R, erga perpendicular e marque S com RS=1.
3. Una O a S. No triângulo retângulo ORS, a hipotenusa OS vale
OS = raizOR^2 + RS^2 = raiz2^2 + 1^2 = raiz5
4. Transfira OS para a reta: com o compasso em OS e centro em O, trace arco que corta a reta em T. Então OT = raiz5.

Passo 6

Construção de raiz5 - raiz3:
1. Já temos OT = raiz5 e OP = raiz3.
2. Abra o compasso em PT; isso é o comprimento raiz5-raiz3.
3. Com centro em O e raio PT, faça arco que corta a reta em Z.
4. Então
OZ = PT = raiz5 - raiz3,
e Z é o ponto procurado.

Resposta

Os três pontos sobre a reta horizontal são:
P com abscissa raiz3.
Q com abscissa raiz2 + raiz3.
Z com abscissa raiz5 - raiz3.

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