Sejam dadas as constantes
e
com a propriedade de que
. Se
, mostre que existe uma função
tal que
. Mostre também que para essas duas funções é verdade que
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: dadas as constantes
com
, definimos a função
O objetivo é encontrar uma função de Möbius inversa do tipo
que satisfaça
e mostrar também que
.
Passo 2
Para a transformação de Möbius
associamos a matriz
Como
, a inversa de
é
A multiplicação de toda a matriz por escalar não altera a forma da transformação, então podemos escolher os coeficientes de
proporcionais às entradas de
.
Passo 3
Tomando
,
,
e
, definimos
Vamos verificar agora que
.
Passo 4
Substituindo
em
, temos
No numerador
no denominador
logo
Passo 5
De modo análogo, substituindo
em
obtemos
Daqui seguem
.
Resposta
A função inversa de
é
e vale