Sejam dadas as constantes a, b, c e d com a propriedade de que a d-b c neq 0. Se f(x)=(a x+b) /(c x+d), mostre que existe uma função g(x)=(alpha x+beta) /(gamma x+de<a) tal que f(g(x))=x. Mostre também que para essas duas funções é verdade que f(g(x))=g(f(x)).

Passo 1

Resumindo o enunciado: dadas as constantes a,b,c,d com ad-bcneq0, definimos a função
f(x)=a x+bc x+d
O objetivo é encontrar uma função de Möbius inversa do tipo alpha x+betagamma x+de<a que satisfaça f(g(x))=x e mostrar também que f(g(x))=g(f(x)).

Passo 2

Para a transformação de Möbius associamos a matriz
Como , a inversa de é
A multiplicação de toda a matriz por escalar não altera a forma da transformação, então podemos escolher os coeficientes de proporcionais às entradas de .

Passo 3

Tomando alpha=d, beta=-b, gamma=-c e de<a=a, definimos
g(x)=d x - b-c x + a
Vamos verificar agora que f(g(x))=x.

Passo 4

Substituindo g(x) em f, temos
f(g(x))=al(dx-b-cx+ar)+bcl(dx-b-cx+ar)+d
No numerador
a(dx-b)+b(-cx+a)=(ad-bc)x,
no denominador
c(dx-b)+d(-cx+a)=ad-bc,
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f(g(x))=(ad-bc)xad-bc=x

Passo 5

De modo análogo, substituindo f(x) em g obtemos
g(f(x))=dl(ax+bcx+dr)-b-cl(ax+bcx+dr)+a =(ad-bc)xad-bc=x
Daqui seguem f(g(x))=g(f(x))=x.

Resposta

A função inversa de f é
g(x)=d x - b-c x + a,
e vale
f(g(x))=g(f(x))=x

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