Sejam dadas as funções f(x)=84^2 x e g(x)=4^x.
a) Represente a curva y=f(x) em um gráfico no qual o eixo vertical fornece log 2(y).
b) Determine os valores de y e z que satisfazem
f(z)=g(y) e f(y)g(z)=1
Dica: converta o sistema em um linear equivalente.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=84^2x, g(x)=4^x
e pede:
a) desenhar a curva y=f(x) num gráfico onde o eixo vertical mede log2(y);
b) encontrar y e z tais que
f(z)=g(y), f(y)g(z)=1
Vamos usar propriedades de exponenciais e de logaritmos em base 2.

Passo 2

Para o gráfico em que o eixo vertical é log2(y), calculamos
log2l(f(x)r) =log2!gl(84^2xgr) =log2l(2^3cdot2^-4xr) =3-4x
Logo, no plano (x,log2(y)) a curva é a reta
log2(y)=3-4x,
com declive -4 e intercepto 3. Por exemplo, passa por (0,3) e (1,-1).

Passo 3

Para a parte (b), escrevemos tudo em potências de 2:
f(x)=84^2x=2^3cdot(2^2)^-2x=2^3-4x, g(x)=4^x=(2^2)^x=2^2x
Então
f(z)=g(y);Longrightarrow;2^3-4z=2^2y ;Longrightarrow;3-4z=2y,
e
f(y)g(z)=1 ;Longrightarrow;log2l(f(y)/g(z)r)=0 ;Longrightarrow;(3-4y)-(2z)=0 ;Longrightarrow;3-4y=2z

Passo 4

Reescrevendo as equações lineares em y,z:
3-4z=2y ;Long<=ftrightarrow; 2y+4z=3,
3-4y=2z ;Long<=ftrightarrow; 4y+2z=3

Passo 5

Resolvendo o sistema
2y+4z=3, 4y+2z=3,
podemos, por exemplo, isolar
;y=(3-4z)/2
no primeiro e substituir no segundo:
4l(tfrac3-4z2r)+2z=3 ;Longrightarrow; 2(3-4z)+2z=3 ;Longrightarrow; 6-8z+2z=3 ;Longrightarrow; 6z=3 ;Longrightarrow; z=tfrac12,
e então
y=3-4cdot122 =3-22 =12

Resposta

y=tfrac12, z=tfrac12.

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