Sejam dadas as sequências
Em cada caso abaixo, determine para quais valores de vale

Passo 1

O enunciado dá a sequência
bn = n-1n
e pede os valores de ninN tais que
bnin(0.999,,1.111)
Para resolver, vamos transformar isso numa desigualdade sobre n.

Passo 2

Escrevendo a dupla desigualdade:
0.999 < n-1n < 1.111
Observe também que
n-1n = 1 - 1n,
que é crescente em n e tende a 1 quando ntoinfty.

Passo 3

Resolvendo a parte esquerda:
1 - 1n > 0.999 Longrightarrow -1n > -0.001 Longrightarrow 1n < 0.001 Longrightarrow n > 1000

Passo 4

Resolvendo a parte direita:
1 - 1n < 1.111 Longrightarrow -1n < 0.111 Longrightarrow 1n > -0.111
Como 1n é sempre positivo, esta desigualdade vale para todo ninN.

Passo 5

A única restrição não trivial é n>1000. Como n é inteiro positivo, concluímos
n >= 1001

Resposta

n >= 1001.

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