Ex. 8.12 - Dado epsilon>0 arbitrário, determine, em cada caso, m in N^* tal que an in ( L-epsilon, L+epsilon ) para todo n >= m, onde:
an=nn-1 e L=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que limntoinftynn-1=1 segundo a definição de limite: dado um epsilon>0, encontrar minN^* tal que, para todo n>= m,
anin(1-epsilon,,1+epsilon),
ou seja,
l|an-1r|<epsilon

Passo 2

Calculemos a diferença em valor absoluto:
l|an-1r| =l|nn-1-1r| =l|n-(n-1)n-1r| =1,n-1,

Passo 3

Queremos
1,n-1,<epsilon Long<=ftrightarrow n-1>1epsilon Long<=ftrightarrow n>1+1epsilon
Basta então escolher
m=llceil 1+1epsilonrrceil,
pois para todo n>= m teremos n>1+1/epsilon e, portanto, 1/(n-1)<epsilon.

Passo 4

Verificamos que este m é um número natural e que garante, para todo n>= m,
l|an-1r|=1n-1<epsilon,
ou seja, anin(1-epsilon,1+epsilon).

Resposta

Um possível valor de m é
m=llceil 1+1epsilonrrceil

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