Ex. 8.19 - Mostre que a sequência (0.3,0.33,0.333,0.3333, . . . ) converge a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
converge para . Vamos usar conceitos de soma de série geométrica e definição de limite de sequência.
converge para
Passo 2
Observe que o
-ésimo termo da sequência, denotado por
, tem
algarismos 3 nas casas decimais, então
Passo 3
Essa soma é uma série geométrica de primeiro termo
e razão
. Pela fórmula da soma finita de série geométrica,
Passo 4
Como
quando
, segue que
Passo 5
Para tornar a demonstração rigorosa usando a definição de limite, seja
. Então
Basta escolher
N tal que
Assim, para todo
n>= N vale
lvert an-1/3rvert<varepsilon , o que prova que
antotfrac13 .