Ex. 8.19 - Mostre que a sequência (0.3,0.33,0.333,0.3333, . . . ) converge a 1 / 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
l(0,3,;0,33,;0,333,;0,3333,;dotsr)
converge para tfrac13. Vamos usar conceitos de soma de série geométrica e definição de limite de sequência.

Passo 2

Observe que o n-ésimo termo da sequência, denotado por an, tem n algarismos 3 nas casas decimais, então
an ;=;sumk=1^n310^k

Passo 3

Essa soma é uma série geométrica de primeiro termo tfrac310 e razão tfrac110. Pela fórmula da soma finita de série geométrica,
an =310l(1-(tfrac110)^nr)1-tfrac110 =13l(1-(tfrac110)^nr)

Passo 4

Como l(tfrac110r)^nto0 quando ntoinfty, segue que
limntoinftyan =13l(1-0r) =13

Passo 5

Para tornar a demonstração rigorosa usando a definição de limite, seja varepsilon>0. Então
l|an-tfrac13r| =13l(tfrac110r)^n
Basta escolher N tal que
13l(tfrac110r)^N<varepsilon Long<=ftrightarrow 10^N>13varepsilon
Assim, para todo n>= N vale lvert an-1/3rvert<varepsilon, o que prova que antotfrac13.

Resposta

13

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