Sejam A e B dois números distintos de sete dígitos, cada um deles contendo todos os dígitos de 1 até 7 . Prove que A não é divisível por B.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são dois números distintos de sete dígitos, cada um contendo exatamente os dígitos de 1 a 7 em alguma ordem. Queremos mostrar que não existe inteiro k tal que
A = k,B,
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de que todo número é congruente à soma de seus dígitos módulo 9, e também um simples argumento de tamanhos para restringir possíveis valores de k.

Passo 2

Como A e B usam exatamente os dígitos 1,2,3,4,5,6,7, a soma dos dígitos de cada um é
1+2+3+4+5+6+7 = 28
Pelo teste de divisibilidade por 9, isso significa
A equiv 28 equiv 1 pmod9, B equiv 28 equiv 1 pmod9

Passo 3

Suponha, para chegar a uma contradição, que B divida A. Então existe algum inteiro k>=1 tal que
A = k,B
Como A e B são distintos, kneq1. Além disso, o menor número com esses dígitos é 1234567 e o maior é 7654321, de modo que
1,234,567 ;<=; B e A ;<=; 7,654,321
implicam
k = AB ;<=;7,654,3211,234,567 ;approx;6,2
Como k é inteiro, só restam as opções
kin2,3,4,5,6

Passo 4

Voltando ao módulo 9, da igualdade A = k,B temos
1 equiv A equiv k,B equiv kcdot1 = k pmod9,
ou seja
k equiv 1 pmod9
Entre os inteiros de 2 a 6 não há nenhum congruente a 1 módulo 9. Logo não existe kneq1 que satisfaça a congruência, o que contraria a hipótese de divisibilidade.

Resposta

Não existe inteiro k com kneq1 tal que A=k,B. Portanto, A não é divisível por B.

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