Sejam A e B dois números distintos de sete dígitos, cada um deles contendo todos os dígitos de 1 até 7 . Prove que A não é divisível por B.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são dois números distintos de sete dígitos, cada um contendo exatamente os dígitos de 1 a 7 em alguma ordem. Queremos mostrar que não existe inteiro
tal que
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de que todo número é congruente à soma de seus dígitos módulo 9, e também um simples argumento de tamanhos para restringir possíveis valores de
.
Passo 2
Como
e
usam exatamente os dígitos 1,2,3,4,5,6,7, a soma dos dígitos de cada um é
Pelo teste de divisibilidade por 9, isso significa
Passo 3
Suponha, para chegar a uma contradição, que
divida
. Então existe algum inteiro
tal que
Como
e
são distintos,
. Além disso, o menor número com esses dígitos é
e o maior é
, de modo que
implicam
Como
é inteiro, só restam as opções
Passo 4
Voltando ao módulo 9, da igualdade
temos
ou seja
Entre os inteiros de 2 a 6 não há nenhum congruente a 1 módulo 9. Logo não existe
que satisfaça a congruência, o que contraria a hipótese de divisibilidade.
Resposta
Não existe inteiro
com
tal que
. Portanto,
não é divisível por
.