(UF-PI) Sejam A e B dois subconjuntos quaisquer de números reais. Sobre as afirmações abaixo,
I. Se A cap B=varnothing, então A=varnothing ou B=varnothing;
II. Se x in A cup B, então x in A ou x in B;
III. Se x in(A cup B)^C, então x in A^C e x in B^C;
é correto afirmar que:
a) somente I é verdadeira.
b) somente I e II são verdadeiras.
c) somente II é verdadeira.
d) somente II e III são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá dois subconjuntos quaisquer de R, chamados A e B, e pede para verificar a veracidade das afirmações envolvendo operações de teoria de conjuntos: interseção, união e complemento.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Se ,Acap B=varnothing, então A=varnothing ou B=varnothing”.
Isso seria verdade apenas se conjuntos disjuntos não pudessem ser ambos não vazios, mas podemos dar um contra-exemplo:
Tomemos A=1 e B=2. Então
Acap B=varnothing
porém nem A nem B são vazios. Logo, I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Se xin Acup B, então xin A ou xin B”.
Pela definição de união de conjuntos, Acup B contém exatamente os elementos que estão em A, em B ou em ambos. Portanto, se x pertence à união, obrigatoriamente ele está em A ou em B. Assim, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Se xin(Acup B)^C, então xin A^C e xin B^C”.
Pelo teorema de De Morgan, o complemento da união é a interseção dos complementos:
(Acup B)^C=A^Ccap B^C
Logo, se x pertence a (Acup B)^C, então x pertence simultaneamente a A^C e a B^C. Portanto, III é verdadeira.

Resposta

d) somente II e III são verdadeiras.

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