(UF-PI) Sejam A e B dois subconjuntos quaisquer de números reais. Sobre as afirmações abaixo,
I. Se
, então
ou
;
II. Se
, então
ou
;
III. Se
, então
e
;
é correto afirmar que:
a) somente I é verdadeira.
b) somente I e II são verdadeiras.
c) somente II é verdadeira.
d) somente II e III são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
é correto afirmar que:
a) somente I é verdadeira.
b) somente I e II são verdadeiras.
c) somente II é verdadeira.
d) somente II e III são verdadeiras.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá dois subconjuntos quaisquer de
, chamados
e
, e pede para verificar a veracidade das afirmações envolvendo operações de teoria de conjuntos: interseção, união e complemento.
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Se
, então
ou
”.
Isso seria verdade apenas se conjuntos disjuntos não pudessem ser ambos não vazios, mas podemos dar um contra-exemplo:
Tomemos e
. Então
Isso seria verdade apenas se conjuntos disjuntos não pudessem ser ambos não vazios, mas podemos dar um contra-exemplo:
Tomemos
porém nem
nem
são vazios. Logo, I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Se
, então
ou
”.
Pela definição de união de conjuntos, contém exatamente os elementos que estão em
, em
ou em ambos. Portanto, se
pertence à união, obrigatoriamente ele está em
ou em
. Assim, II é verdadeira.
Pela definição de união de conjuntos,
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Se
, então
e
”.
Pelo teorema de De Morgan, o complemento da união é a interseção dos complementos:
Pelo teorema de De Morgan, o complemento da união é a interseção dos complementos:
Logo, se
pertence a
, então
pertence simultaneamente a
e a
. Portanto, III é verdadeira.
Resposta
d) somente II e III são verdadeiras.