Sejam c1, c2 dois uúmeros complexos. Provar que
|c1=c3| <=q|c1|+|c3|.

Passo 1

O enunciado apresenta dois números complexos c1 e c3 e pede para provar a desigualdade da soma dos módulos, ou seja
l|c1+c3r|;<=;l|c1r|+l|c3r|
O conteúdo principal é a propriedade do módulo de número complexo e vamos usar a relação lvert zrvert^2=z,z e o fato de que Re(w)<=lvert wrvert.

Passo 2

Começamos elevando ao quadrado o módulo que queremos estimar. Usando lvert zrvert^2=z,z, temos
l|c1+c3r|^2 =(c1+c3)l(c1+c3r) =|c1|^2+|c3|^2+c1,c3+c1,c3

Passo 3

Observe que
c1,c3+c1,c3 =2,Rel(c1,c3r) <=2l|c1,c3r| =2,|c1|;|c3|
Portanto
l|c1+c3r|^2 <=|c1|^2+2,|c1|;|c3|+|c3|^2 =l(|c1|+|c3|r)^2

Passo 4

Como ambos os lados são não negativos, tiramos a raiz quadrada para concluir
l|c1+c3r|;<=;l|c1r|+l|c3r|

Resposta

boxedl|c1+c3r|<=l|c1r|+l|c3r|

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