Mostre que os seguintes polinómios não admitem raízes racionais:
f(x)=x^2-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinómio
f(x)=x^2-2
não admite raízes racionais. O conteúdo usado será o Teorema das Raízes Racionais, que dá condições sobre possíveis raízes de um polinómio com coeficientes inteiros.

Passo 2

O Teorema das Raízes Racionais diz que, se tfracpq (com gcd(p,q)=1) é raiz de um polinómio monico
x^n+an-1x^n-1+cdots+a0
então p divide a0 e q divide 1. No nosso caso, f(x)=x^2-2 é monico, com termo independente a0=-2.

Passo 3

Como a0=-2, os divisores inteiros de -2 são pm1,pm2. E como o coeficiente líder é 1, o denominador q só pode ser pm1. Logo os únicos candidatos a raízes racionais são
xinpm1,pm2

Passo 4

Basta verificar f nesses valores:
f(1)=1^2-2=-1neq0, f(-1)=(-1)^2-2=-1neq0,
f(2)=2^2-2=2neq0, f(-2)=(-2)^2-2=2neq0
Nenhum destes dá zero, logo não existe tfracpqinpm1,pm2 tal que f(p/q)=0.

Resposta

O polinómio f(x)=x^2-2 não admite raízes racionais.

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