a) Mostre que 2 n+1n(n+1) é irredutível, para todo n in Z, n neq 0, n neq-1.
b) Determine n a fim de que essa fração represente um número racional decimal.
Resolução de b): Devemos impor que n(n+1)=2^circ cdot 5^beta(alpha, beta >= 0). Como mdc (n, n+1)=1, então há duas possibilidades: (n=2^alpha e n+1=5^beta ) ou ( n=5^beta e n+1=2^alpha ). Examinemos a primeira. De 5^beta=2^alpha+1 segue que 2^alpha=5^beta-1=(5-1)(5^beta-1+ldots+5+1)= =4 cdot(5^beta-1+ldots+5+1). É claro que alpha=2 e beta=1 fornecem urna solução para o problema: neste caso n=4. Vamos supor que pudesse haver uma solução para alpha>2. Então 2^alpha-2=1+5+ldots+5^beta-1, o que obriga beta a ser par; daí
& 1+5+5^2+ldots+5^beta-2+5^beta-1= & =(1+5)+5^2(1+5)+ldots+5^beta-2(1+5)
e como 3 divide esta soma, teria também que dividir 2^alpha-2, o que não é possível. Donde n=4 é a única soluçāo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a fração
2n+1n(n+1),
para ninZ, nneq0, nneq-1:
  1. Mostrar que ela é irredutível.
  2. Determinar os valores de n tais que essa fração tenha representação decimal finita.

Passo 2

Para mostrar que a fração é irredutível precisamos provar que
gcdl(2n+1,;n(n+1)r)=1
Como n e n+1 são coprimos, basta mostrar que 2n+1 é coprimo com cada um deles.

Passo 3

Calculemos
gcd(2n+1,;n) =gcdl(2n+1-2cdot n,;nr) =gcd(1,n) =1

Passo 4

Agora
gcd(2n+1,;n+1) =gcdl(2n+1-2,(n+1),;n+1r) =gcd(-1,n+1) =1
Logo 2n+1 é coprimo tanto a n quanto a n+1, e portanto a toda a produto n(n+1). Assim a fração é irreduzível.

Passo 5

Para ter representação decimal finita, em forma irredutível o denominador deve ser da forma
n(n+1)=2^alpha5^beta, alpha,beta>=0
Como gcd(n,n+1)=1, um dos fatores é potência de 2 e o outro é potência de 5. Há, pois, duas possibilidades:
  1. n=2^alpha e n+1=5^beta.
  2. n=5^beta e n+1=2^alpha.

Passo 6

Examinando a opção n=2^alpha, n+1=5^beta temos
5^beta-1=2^alpha =(5-1)l(5^beta-1+cdots+1r) =4cdot S,
onde
S=1+5+cdots+5^beta-1
Logo 2^alpha-2=S. Se beta>1, então S é múltiplo de 3 (pois 1+5equiv0pmod3 em cada par de termos), o que forçaria 3mid2^alpha-2, impossível. Portanto beta=1, daí S=1 e alpha-2=0, ou seja alpha=2. Logo desta opção vem n=2^2=4.

Passo 7

Na segunda opção n=5^beta, n+1=2^alpha temos
5^beta+1=2^alpha
Testando beta=0 5^0+1=2, ou seja alpha=1 e n=1. Para beta>=1 não há soluções inteiras em potências de 2.

Resposta

a) A fração 2n+1n(n+1) é irredutível para todo ninZsetminus0,-1
b) Ela tem representação decimal finita apenas para
n=1ou n=4

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