a) Mostre que
é irredutível, para todo
.
b) Determine n a fim de que essa fração represente um número racional decimal.
Resolução de b): Devemos impor que
. Como mdc
, então há duas possibilidades:
e
) ou (
e
). Examinemos a primeira. De
segue que
. É claro que
e
fornecem urna solução para o problema: neste caso
. Vamos supor que pudesse haver uma solução para
. Então
, o que obriga
a ser par; daí
e como 3 divide esta soma, teria também que dividir
, o que não é possível. Donde
é a única soluçāo.
b) Determine n a fim de que essa fração represente um número racional decimal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a fração
para
,
,
:
- Mostrar que ela é irredutível.
- Determinar os valores de
tais que essa fração tenha representação decimal finita.
Passo 2
Para mostrar que a fração é irredutível precisamos provar que
Como
e
são coprimos, basta mostrar que
é coprimo com cada um deles.
Passo 3
Calculemos
Passo 4
Agora
Logo
é coprimo tanto a
quanto a
, e portanto a toda a produto
. Assim a fração é irreduzível.
Passo 5
Para ter representação decimal finita, em forma irredutível o denominador deve ser da forma
Como
, um dos fatores é potência de
e o outro é potência de
. Há, pois, duas possibilidades:
-
e . -
e .
Passo 6
Examinando a opção
,
temos
onde
Logo
. Se
, então
é múltiplo de 3 (pois
em cada par de termos), o que forçaria
, impossível. Portanto
, daí
e
, ou seja
. Logo desta opção vem
.
Passo 7
Na segunda opção
,
temos
Testando
dá
, ou seja
e
. Para
não há soluções inteiras em potências de 2.
Resposta
a) A fração
é irredutível para todo
b) Ela tem representação decimal finita apenas para
b) Ela tem representação decimal finita apenas para