Sejam a e
inteiros maiores que 1 e tais que
. Prove que:
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros maiores que 1 tais que
e
, e pede para provar que
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema de Euler (ou Euler–Fermat) e a soma de uma progressão geométrica em aritmética modular.
Passo 2
Como
, pelo Teorema de Euler temos
Isso significa que
é divisível por
.
Passo 3
Considere a soma
Na aritmética usual essa soma satisfaz a fórmula da progressão geométrica:
Como
, o elemento
é invertível em
. Logo podemos interpretar a igualdade acima módulo
:
Mas já vimos que
. Portanto
Passo 4
Como
, existe
em
. Multiplicando a congruência anterior por
, obtemos