Se n>0 não é múltiplo de 3 , prove que a=3^2 n+3^n+1 é divisível por 13.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>0 que não seja múltiplo de 3, o número
a = 3^2n + 3^n + 1
é divisível por 13.
Conteúdo: aritmética modular (restos) e ordem de um elemento no grupo multiplicativo bmod,13.

Passo 2

Calculamos primeiro o resto de 3^3 em relação a 13:
3^3 = 27 equiv 1 pmod13
Isto mostra que, no módulo 13, as potências de 3 têm período que divide 3, ou seja,
3^n equiv 3^,n bmod 3pmod13

Passo 3

Como n não é múltiplo de 3, só há duas possibilidades para n bmod 3:
  1. nequiv1pmod3,
  2. nequiv2pmod3.

Passo 4

Caso nequiv1pmod3:
3^n equiv 3^1 = 3pmod13, 3^2n equiv (3^n)^2 equiv 3^2 = 9pmod13
Logo
a equiv 9 + 3 + 1 = 13 equiv 0pmod13

Passo 5

Caso nequiv2pmod3:
3^n equiv 3^2 = 9pmod13, 3^2n equiv (3^n)^2 equiv 9^2 = 81equiv 81 - 6cdot13 = 3pmod13
Logo
a equiv 3 + 9 + 1 = 13 equiv 0pmod13

Resposta

Em ambos os casos obtemos aequiv0pmod13. Portanto 13 divide a.

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