Sejam a e b inteiros primos entre si e n urn inteiro tal que
é um número primo. Mostre que:
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros primos entre si (
) e que
é inteiro tal que
é primo. Precisamos mostrar que
só pode ser
ou
. Vamos usar argumentos de divisibilidade e congruências módulo um divisor comum.
Passo 2
Seja
Por definição,
divide simultaneamente
e
.
Passo 3
Como
, temos
Substituindo essa congruência em
, obtemos
Como
já divide
, concluímos
Passo 4
Dos dados,
. Como também
, segue
Então
é coprimo a
, o que implica
. Mas já vimos que
. Como não pode carregar fator de
, só resta
Passo 5
Por fim,
é primo. Logo, o único divisor positivo de
são
e
(e no geral
e
). Concluímos que