Sejam a e b inteiros primos entre si e n urn inteiro tal que é um número primo. Mostre que:

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros primos entre si ( gcd(a,b)=1) e que n é inteiro tal que
n+2 = p
é primo. Precisamos mostrar que
gcdl(a+b,;a^2-n,a,b+b^2r)
só pode ser 1 ou lvert prvert. Vamos usar argumentos de divisibilidade e congruências módulo um divisor comum.

Passo 2

Seja
d = gcdl(a+b,;a^2-n,a,b+b^2r)
Por definição, d divide simultaneamente a+b e a^2-n,a,b+b^2.

Passo 3

Como dmid (a+b), temos
a equiv -b pmod d
Substituindo essa congruência em a^2-n,a,b+b^2equiv 0pmod d, obtemos
a^2-n,a,b+b^2 equiv (-b)^2 - n(-b)b + b^2 = b^2 + n,b^2 + b^2 = (n+2),b^2 = p,b^2 pmod d
Como d já divide a^2-n,a,b+b^2, concluímos
p,b^2 equiv 0 pmod d Longrightarrow d mid p,b^2

Passo 4

Dos dados, gcd(a,b)=1. Como também dmid (a+b), segue
gcd(d,b) ;=;gcd(a+b,b)=gcd(a,b)=1
Então d é coprimo a b, o que implica gcd(d,b^2)=1. Mas já vimos que dmid p,b^2. Como não pode carregar fator de b, só resta
d mid p

Passo 5

Por fim, p é primo. Logo, o único divisor positivo de p são 1 e p (e no geral pm1 e pm p). Concluímos que
gcdl(a+b,;a^2-n,a,b+b^2r) ;=;d ;=;1ou d=lvert prvert

Resposta

gcdl(a+b,;a^2-n,a,b+b^2r) =1oulvert prvert

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