Sejamaeb inteiros primos entre si. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
, então o mínimo múltiplo comum de
e
é dado por
. Vamos usar a definição de mínimo múltiplo comum (mmc) como o menor inteiro positivo que é múltiplo de ambos, e a propriedade de números coprimos: se
e
,
, então
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é múltiplo de
e de
. De fato,
e
. Logo
é um múltiplo comum de
e
.
Passo 3
Agora provamos que não existe múltiplo comum positivo menor que
. Seja
tal que
e
. Então existem inteiros
com
Como
e
, segue que
. Logo
para algum inteiro
, e
Isto mostra
, ou seja,
. Portanto
é o menor múltiplo comum positivo.