Sejamaeb inteiros primos entre si. Prove que mmc(a, b)=|a b|.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se gcd(a,b)=1, então o mínimo múltiplo comum de a e b é dado por lvert a brvert. Vamos usar a definição de mínimo múltiplo comum (mmc) como o menor inteiro positivo que é múltiplo de ambos, e a propriedade de números coprimos: se gcd(a,b)=1 e amid m, bmid m, então abmid m.

Passo 2

Mostramos primeiro que lvert abrvert é múltiplo de a e de b. De fato, amid ab e bmid ab. Logo lvert abrvert é um múltiplo comum de a e b.

Passo 3

Agora provamos que não existe múltiplo comum positivo menor que lvert abrvert. Seja m>0 tal que amid m e bmid m. Então existem inteiros k,ell com
m = a,k e m = b,ell
Como gcd(a,b)=1 e bmid m = a,k, segue que bmid k. Logo k = b,q para algum inteiro q, e
m = a,(b,q) = (ab),q
Isto mostra abmid m, ou seja, m>= lvert abrvert. Portanto lvert abrvert é o menor múltiplo comum positivo.

Resposta

mmc(a,b)=lvert a brvert.

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