Ache dois inteiros a e b, se o primeiro tem 21 divisores, o segundo 10 e mdc(a, b)=1250.

Passo 1

O enunciado pede dois inteiros a e b tais que gcd(a,b)=1250, que têm respectivamente 21 e 10 divisores. Vamos usar a fatoração em primos, a fórmula do número de divisores e a propriedade da gcd em termos dos expoentes primos.

Passo 2

Fatoramos
1250 = 2^1cdot5^4
Como gcd(a,b)=1250, escrevemos
a = 2^1cdot5^4cdot m, b = 2^1cdot5^4cdot n,
com gcd(m,n)=1. Denotemos em a e b os expoentes finais em 2 e 5 por e2(a),e5(a) e e2(b),e5(b).

Passo 3

A fórmula do número de divisores diz que, se
a = prodp p^ep(a),
então
d(a)=prodpl(ep(a)+1r)
Para a queremos d(a)=21 e para b queremos d(b)=10.

Passo 4

Como a já tem 2^1cdot5^4, escrevemos
e2(a)=1+e2(m), e5(a)=4+e5(m),
e não permitimos outros primos em m porque 21=3cdot7 só se obtém com dois fatores. Logo escolhemos
e2(a)+1=3, e5(a)+1=7
para ter (3)times(7)=21. Assim
e2(a)=2, e5(a)=6,
e portanto
a = 2^2cdot5^6

Passo 5

Para b queremos d(b)=10=2cdot5. Como b já tem 2^1cdot5^4, e também vamos usar apenas esses dois primos, impomos
e2(b)+1=2, e5(b)+1=5,
para obter 2times5=10. Logo
e2(b)=1, e5(b)=4,
e
b = 2^1cdot5^4

Passo 6

Reconstituindo em valores numéricos:
a = 2^2cdot5^6 = 4cdot15625 = 62500, b = 2cdot5^4 = 2cdot625 = 1250
Verificamos gcd(62500,1250)=1250, d(62500)=(2+1)(6+1)=21 e d(1250)=(1+1)(4+1)=10.

Resposta

a = 62500, b = 1250

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