Sejam
os
valores distintos assumidos por uma variável
, com frequências absolutas iguais a
, respectivamente. Encontre uma expressão para a variância desses valores.
Passo 1
O enunciado trata de uma variável que só pode assumir
valores distintos
, e cada
aparece
vezes num conjunto de dados de tamanho total
.
O que queremos é a variância desses dados. Para isso vamos precisar
O que queremos é a variância desses dados. Para isso vamos precisar
- definir o total de observações
, - obter a média
, - aplicar a definição de variância como média dos quadrados dos desvios,
- e então simplificar a expressão.
Passo 2
Definimos o total de observações como
Passo 3
A média aritmética (populacional) dos dados é
Passo 4
Pela definição, a variância
é a média ponderada dos quadrados dos desvios em relação a
:
Passo 5
Expandindo o quadrado dentro da soma, temos
logo
Mas
e
,
então os dois últimos termos viram
então os dois últimos termos viram
Assim a expressão simplifica para