Sejam x1, x2, ldots, xk os k valores distintos assumidos por uma variável x, com frequências absolutas iguais a n1, n2, ldots, nk, respectivamente. Encontre uma expressão para a variância desses valores.

Passo 1

O enunciado trata de uma variável que só pode assumir k valores distintos
x1,x2,dots,xk, e cada xi aparece ni vezes num conjunto de dados de tamanho total N.
O que queremos é a variância desses dados. Para isso vamos precisar
  1. definir o total de observações N,
  2. obter a média bar x,
  3. aplicar a definição de variância como média dos quadrados dos desvios,
  4. e então simplificar a expressão.

Passo 2

Definimos o total de observações como
N = sumi=1^k ni

Passo 3

A média aritmética (populacional) dos dados é
bar x = 1Nsumi=1^k ni,xi

Passo 4

Pela definição, a variância sigma^2 é a média ponderada dos quadrados dos desvios em relação a bar x:
sigma^2 = 1Nsumi=1^k ni,(xi - bar x)^2

Passo 5

Expandindo o quadrado dentro da soma, temos
(xi - bar x)^2 = xi^2 - 2,xi,bar x + bar x^2,
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1Nsumi=1^k ni,(xi - bar x)^2 = 1Nsumi=1^k ni,xi^2 - 2,bar x;1Nsumi=1^k ni,xi + bar x^2;1Nsumi=1^k ni
Mas 1Nsumi ni,xi=bar x e 1Nsumi ni = 1,
então os dois últimos termos viram
-2,bar xcdotbar x + bar x^2 = -2,bar x^2 + bar x^2 = -bar x^2
Assim a expressão simplifica para
sigma^2 = 1Nsumi=1^k ni,xi^2 ;-;bar x^2

Resposta

sigma^2 = 1Nsumi=1^k ni,(xi - bar x)^2 = 1Nsumi=1^k ni,xi^2 - gl(1Nsumi=1^k ni,xigr)^2

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