Determine o comprimento do anteperíodo e o do período da representação decimal de 1n nos seguintes casos:
n=3 cdot 5^2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do anteperíodo e do período da representação decimal de tfrac1n com n=3cdot5^2. A teoria diz que, se o denominador irredutível de uma fração tem fatoração
2^a5^b m, gcd(m,10)=1,
então o anteperíodo tem comprimento max(a,b) e o período é a ordem multiplicativa de 10 módulo m.

Passo 2

Fatoramos n=75 escrevendo
75 = 3cdot5^2 = 2^0cdot5^2cdot3,
logo a=0, b=2 e m=3 com gcd(3,10)=1.

Passo 3

O anteperíodo tem comprimento
max(a,b)=max(0,2)=2

Passo 4

O período é o menor d>0 tal que
10^dequiv1pmodm,
ou seja, 10^dequiv1pmod3. Como 10equiv1pmod3, basta d=1.

Passo 5

Para confirmar, note que
175=0,013,
onde “01” é o anteperíodo (dois dígitos) e “3” é o período (um dígito).

Resposta

Anteperíodo: 2
Período: 1

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