Prove por induçāo os seguintes resultados:
Se a1, a2, ldots, an(n>1) são números reais positivos ( ai >= 0, i=1,2, ldots, n ), então
(1+a1)(1+a2) ldots(1+an) >= 1+(a1+a2+ldots+an)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo. Queremos provar por indução em n que, para quaisquer números reais não negativos ,a1,a2,dots,an com n>1, vale
(1+a1)(1+a2)cdots(1+an) >= 1 + l(a1+a2+cdots+anr)
O método será o princípio da indução finita.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Para um único número a1>=0 temos
(1+a1) = 1 + a1,
logo
(1+a1) >= 1 + a1,
que é exatamente o caso n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que a desigualdade seja válida para um certo n>=1, isto é,
(1+a1)(1+a2)cdots(1+an) >= 1 + sumi=1^nai

Passo 4

Passo indutivo ( nto n+1). Considere agora n+1 números não negativos a1,dots,an+1. Então
(1+a1)cdots(1+an+1) = l[(1+a1)cdots(1+an)r],(1+an+1)
Pelo passo de hipótese,
l[(1+a1)cdots(1+an)r],(1+an+1) >= l(1 + sumi=1^nair),(1+an+1)
Expandindo,
l(1 + sumi=1^nair),(1+an+1) = 1 + sumi=1^nai + an+1 + an+1sumi=1^nai
Como an+1sumi=1^nai>=0, concluímos
1 + sumi=1^nai + an+1 + an+1sumi=1^nai >= 1 + sumi=1^n+1ai,
que é exatamente a desigualdade para n+1.

Resposta

A desigualdade
(1+a1)(1+a2)cdots(1+an) >= 1 + (a1+a2+cdots+an)
é verdadeira para todo n>1 por indução matemática.

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