Prove por induçāo os seguintes resultados:
Se
são números reais positivos (
,
), então
Se
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo. Queremos provar por indução em
que, para quaisquer números reais não negativos
com
, vale
O método será o princípio da indução finita.
Passo 2
Base da indução (
). Para um único número
temos
logo
que é exatamente o caso
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que a desigualdade seja válida para um certo
, isto é,
Passo 4
Passo indutivo (
). Considere agora
números não negativos
. Então
Pelo passo de hipótese,
Expandindo,
Como
, concluímos
que é exatamente a desigualdade para
.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo
por indução matemática.