i Classifique em crescente ou decrescente (se for o caso) cada uma das seguintes seqüências:
a) (3 n-14 n+5)
b) (5^n1+5^2 n)
c) (n^2+(-1)^n n)
d) (sen(n pi))
e) (n2^n)
f) (n+1n+2)
ii Das sequências crescentes ou decrescentes, quais as que são limitadas?
iii Determine o limite destas últimas.

Passo 1

O enunciado pede para a) classificar a monotonicidade de seis sequências an, b) entre as monotônicas indicar quais são limitadas e c) calcular o limite das que forem monotônicas e limitadas. Vamos usar teste de diferença para frações racionais, teste de razão para termos exponenciais, e análise explícita para casos oscilatórios ou constantes.

Passo 2

Para as sequências racionais
an^(a) = 3n-14n+5, an^(f) = n+1n+2,
calculamos a diferença
an+1-an =3(n+1)-14(n+1)+5-3n-14n+5 =19(4n+9)(4n+5)>0,
e
an+1-an =(n+2)(n+3)-(n+1)(n+2) =1(n+2)(n+3)>0
Logo ambas são estritamente crescentes.

Passo 3

Para
an^(b)=5^n1+5^2n, an^(e)=n2^n,
usamos a razão
rb=an+1^(b)an^(b) =5^n+11+5^2n+2cdot1+5^2n5^n =5(1+5^2n)1+25cdot5^2n<1 (forall n>=1),
re=an+1^(e)an^(e) =n+12^n+1cdot2^nn =n+12n<1 (forall n>=1)
Portanto ambas são decrescentes.

Passo 4

Para
an^(c)=n^2+(-1)^n,n,
note que, se n=2k ou n=2k+1,
a2k=4k^2+2k, a2k+1=4k^2+2k,
e de fato an<= an+1 para todo n. Logo é não-decrecente (monótona crescente, permitido ter empates).

Passo 5

Para
an^(d)=sin(npi)=0,
a sequência é constante. Sendo constante, é simultaneamente não-crescente e não-decrecente.

Passo 6

Das seis sequências, todas são monotônicas (crescentes: (a),(c),(f); decrescentes: (b),(e); constante: (d)). Entre elas, são limitadas
l(an^(a),an^(b),an^(d),an^(e),an^(f)r),
pois ficam sempre em intervalos finitos. A única não limitada é an^(c)toinfty.

Passo 7

Calculamos os limites das monotônicas limitadas:
limntoinftyan^(a)=limntoinfty3n-14n+5=34, limntoinftyan^(b)=0,
limntoinftyan^(d)=0, limntoinftyan^(e)=0, limntoinftyan^(f)=1

Resposta

(a) crescente
(b) decrescente
(c) crescente (não-decrecente)
(d) constante
(e) decrescente
(f) crescente
ii) As monotônicas limitadas são as de letras (a), (b), (d), (e) e (f).
iii) Seus limites são
tfrac34,,0,,0,,0,,1 respectivamente.

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