i Classifique em crescente ou decrescente (se for o caso) cada uma das seguintes seqüências:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
ii Das sequências crescentes ou decrescentes, quais as que são limitadas?
iii Determine o limite destas últimas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
ii Das sequências crescentes ou decrescentes, quais as que são limitadas?
iii Determine o limite destas últimas.
Passo 1
O enunciado pede para a) classificar a monotonicidade de seis sequências
, b) entre as monotônicas indicar quais são limitadas e c) calcular o limite das que forem monotônicas e limitadas. Vamos usar teste de diferença para frações racionais, teste de razão para termos exponenciais, e análise explícita para casos oscilatórios ou constantes.
Passo 2
Para as sequências racionais
calculamos a diferença
e
Logo ambas são estritamente crescentes.
Passo 3
Para
usamos a razão
Portanto ambas são decrescentes.
Passo 4
Para
note que, se
ou
,
e de fato
para todo
. Logo é não-decrecente (monótona crescente, permitido ter empates).
Passo 5
Para
a sequência é constante. Sendo constante, é simultaneamente não-crescente e não-decrecente.
Passo 6
Das seis sequências, todas são monotônicas (crescentes: (a),(c),(f); decrescentes: (b),(e); constante: (d)). Entre elas, são limitadas
,
pois ficam sempre em intervalos finitos. A única não limitada é .
pois ficam sempre em intervalos finitos. A única não limitada é
Passo 7
Calculamos os limites das monotônicas limitadas:
Resposta
(a) crescente
(b) decrescente
(c) crescente (não-decrecente)
(d) constante
(e) decrescente
(f) crescente
(b) decrescente
(c) crescente (não-decrecente)
(d) constante
(e) decrescente
(f) crescente
ii) As monotônicas limitadas são as de letras (a), (b), (d), (e) e (f).
iii) Seus limites são
respectivamente.