Sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define
e
,
e pede para mostrar que e
.
O conteúdo aqui é a definição de supremo (mínima cota superior) e como verificar cotas superiores e a propriedade do “menor” elemento que faz esse papel.
e
e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é a definição de supremo (mínima cota superior) e como verificar cotas superiores e a propriedade do “menor” elemento que faz esse papel.
Passo 2
Mostramos que
é cota superior de
. Para todo
,
Logo
para todo
, isto é,
é cota superior de
.
Passo 3
Precisamos ver que não existe cota superior menor do que
. Seja
. Escolha
tal que
Então
Isso mostra que, dado qualquer
, basta tomar
para encontrar um elemento de
maior do que
. Logo
é a menor cota superior de
, ou seja,
.
Passo 4
Agora
. Cada elemento de
é da forma
. Como para todo
vale
seguem-se que
é cota superior de
.
Passo 5
Para ver que
é a menor cota superior de
, considere
. Escolha
tal que
Então
ou seja, existe elemento de
maior do que
. Assim nenhum
é cota superior, e
.