Sejam A=12, 23, 34, ldots, nn+1, ldots e B=-1,-12,-13, ldots. Mostre que sup A=1 e sup B=0.

Passo 1

O enunciado define
A = ltfrac12,tfrac23,tfrac34,dots,tfracnn+1,dotsr
e
B = l-1,-tfrac12,-tfrac13,dotsr,
e pede para mostrar que sup A = 1 e sup B = 0.
O conteúdo aqui é a definição de supremo (mínima cota superior) e como verificar cotas superiores e a propriedade do “menor” elemento que faz esse papel.

Passo 2

Mostramos que 1 é cota superior de A. Para todo ninN,
nn+1 = 1 - 1n+1 < 1
Logo nn+1<=1 para todo n, isto é, 1 é cota superior de A.

Passo 3

Precisamos ver que não existe cota superior menor do que 1. Seja epsilon>0. Escolha NinN tal que
N > 1epsilon - 1
Então
NN+1 = 1 - 1N+1 > 1 - epsilon
Isso mostra que, dado qualquer M < 1, basta tomar epsilon = 1 - M > 0 para encontrar um elemento de A maior do que M. Logo 1 é a menor cota superior de A, ou seja, sup A = 1.

Passo 4

Agora B. Cada elemento de B é da forma -tfrac1n. Como para todo ninN vale
-1n <= 0,
seguem-se que 0 é cota superior de B.

Passo 5

Para ver que 0 é a menor cota superior de B, considere M<0. Escolha NinN tal que
N > -1M
Então
-1N > M,
ou seja, existe elemento de B maior do que M. Assim nenhum M<0 é cota superior, e sup B = 0.

Resposta

sup A = 1 e sup B = 0

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