Sejam e c três números ímpares arbitrários. Prove que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a,b,c são ímpares quaisquer, então
gcd(a,b,c)=gcdl(tfraca+b2,,tfraca+c2,,tfracb+c2r)
O conteúdo principal é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum ( gcd), além de usar o fato de que soma de dois ímpares é par.

Passo 2

Defina
d = gcd(a,b,c),
então existem inteiros a',b',c' tais que
a = d,a', b = d,b', c = d,c',
com gcd(a',b',c')=1. Como a,b,c são ímpares e d divide cada um deles, segue que a',b',c' também são ímpares.

Passo 3

Observe que
a+b2 ;=; d;a'+b'2, a+c2 ;=; d;a'+c'2, b+c2 ;=; d;b'+c'2
Como a' e b' são ímpares, a'+b' é par, então tfraca'+b'2 é inteiro, e o mesmo vale para as outras duas frações. Logo
gcdl(tfraca+b2,,tfraca+c2,,tfracb+c2r) = d;gcdl(tfraca'+b'2,,tfraca'+c'2,,tfracb'+c'2r)

Passo 4

Defina
G = gcdl(a'+b',,a'+c',,b'+c'r)
Como a',b',c' são ímpares, cada soma a'+b',a'+c',b'+c' é par, logo 2mid G. Agora mostremos que nenhum primo ímpar divide todas as três somas, forçando G=2.
Se p>2 fosse um primo que divide a'+b' e a'+c', então pmid(a'+c')-(a'+b')=c'-b'. Se também pmid b'+c', então
pmid (b'+c')+(c'-b')=2c'
e como p é ímpar segue pmid c'. Analogamente pmid b' e pmid a'. Assim p dividiria gcd(a',b',c'), contradizendo gcd(a',b',c')=1. Portanto nenhum primo ímpar divide as três somas, e como sabemos que 2mid G, conclui-se
G = 2
Daí
gcdl(tfraca'+b'2,,tfraca'+c'2,,tfracb'+c'2r) = G2 =1

Passo 5

Voltando ao passo 3, temos
gcdl(tfraca+b2,,tfraca+c2,,tfracb+c2r) = d times 1 = d = gcd(a,b,c)

Resposta

gcd(a,b,c)=gcdl(tfraca+b2,,tfraca+c2,,tfracb+c2r)

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