Sejam
e c três números ímpares arbitrários. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
são ímpares quaisquer, então
O conteúdo principal é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum (
), além de usar o fato de que soma de dois ímpares é par.
Passo 2
Defina
então existem inteiros
tais que
com
. Como
são ímpares e
divide cada um deles, segue que
também são ímpares.
Passo 3
Observe que
Como
e
são ímpares,
é par, então
é inteiro, e o mesmo vale para as outras duas frações. Logo
Passo 4
Defina
Como
são ímpares, cada soma
é par, logo
. Agora mostremos que nenhum primo ímpar divide todas as três somas, forçando
.
Se
fosse um primo que divide
e
, então
. Se também
, então
e como
é ímpar segue
. Analogamente
e
. Assim
dividiria
, contradizendo
. Portanto nenhum primo ímpar divide as três somas, e como sabemos que
, conclui-se
Daí
Passo 5
Voltando ao passo 3, temos