Sejam a, b, c, d(b neq d) inteiros tais que o mdc (a, b)=mdc(c, d)=1. Mostrar que a soma a / b+c / d não é um inteiro.

Passo 1

O enunciado dá inteiros a,b,c,d com bneq d e gcd(a,b)=gcd(c,d)=1. Queremos mostrar que
ab + cd
não pode ser um número inteiro. Para isso vamos usar divisibilidade e o fato de que se um inteiro primo a não divide um fator, então não divide o produto.

Passo 2

Suponha, por contradição, que
ab + cd = k
para algum inteiro k. Colocando na mesma fração,
ad + bcbd = k
isso implica
ad + bc = k,b,d

Passo 3

Da igualdade ad+bc = kbd segue que b divide o lado esquerdo ad+bc. Como bmid bc, temos
b mid (ad+bc)Longrightarrow bmid ad
Mas gcd(a,b)=1, então bmid d.

Passo 4

De modo análogo, da mesma igualdade ad+bc = kbd concluímos dmid (ad+bc). Como dmid ad, segue
d mid (ad+bc)Longrightarrow dmid bc
E gcd(c,d)=1 implica dmid b.

Passo 5

Chegamos a
bmid d e dmid b
o que implica lvert brvert = lvert drvert. Se assumirmos b,d>0 (o que não altera a soma), então b=d, contradizendo bneq d. Logo, a soma não pode ser inteira.

Resposta

A soma ab+cd não é um número inteiro.

Exercícios de Livros Relacionados