Sejam
inteiros tais que o mdc
. Mostrar que a soma
não é um inteiro.
Passo 1
O enunciado dá inteiros
com
e
. Queremos mostrar que
não pode ser um número inteiro. Para isso vamos usar divisibilidade e o fato de que se um inteiro primo a não divide um fator, então não divide o produto.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
para algum inteiro
. Colocando na mesma fração,
isso implica
Passo 3
Da igualdade
segue que
divide o lado esquerdo
. Como
, temos
Mas
, então
.
Passo 4
De modo análogo, da mesma igualdade
concluímos
. Como
, segue
E
implica
.
Passo 5
Chegamos a
o que implica
. Se assumirmos
(o que não altera a soma), então
, contradizendo
. Logo, a soma não pode ser inteira.
Resposta
A soma
não é um número inteiro.