(UF-AM) Sejam os números complexos z=5-12 i5+12 i e w=1- i. Então o valor da expressão |z|+w^8 será:
a) 13
b) 15
c) 17
d) 19
e) 21

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z = 5 - 12,i5 + 12,i
e
w = 1 - i
e pede o valor de lvert zrvert + w^8.
O conteúdo necessário é: cálculo de módulo de quociente de complexos (usando lvert a/brvert = lvert arvert/lvert brvert) e potência de número complexo (melhor pelo argumento e módulo).

Passo 2

Calculamos o módulo de z usando a propriedade de quociente:
lvert zrvert = lvert5 - 12,i5 + 12,irvert = lvert 5 - 12,irvertlvert 5 + 12,irvert = raiz5^2 + (-12)^2raiz5^2 + 12^2 = 1313 = 1

Passo 3

Para w^8, escrevemos w em forma polar. Temos
w = 1 - i,
cujo módulo é
lvert wrvert = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2,
e argumento arg(w) = -pi4. Logo
w^8 = l(raiz2r)^8 l(cos(-8cdottfracpi4) + i,sin(-8cdottfracpi4)r) = 2^4l(cos(-2pi) + isin(-2pi)r) = 16cdot(1+0,i) = 16

Passo 4

Agora somamos:
lvert zrvert + w^8 = 1 + 16 = 17

Resposta

17

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