Sejam m, n números reais, mostre que:
[2 x]+[2 y] >=[x]+[x+y]+[y].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números reais x e y, vale a desigualdade
[2x]+[2y];>=;[x]+[x+y]+[y],
onde [cdot] denota a parte inteira (função floor). O conteúdo principal aqui é explorar a definição de parte inteira via decomposição em parte inteira e parte fracionária, e usar as propriedades de somas dessas partes.

Passo 2

Escrevemos
x = n + a, y = m + b,
onde n = [x], m=[y] são inteiros e a,bin[0,1) são as partes fracionárias de x e y. Então
2x = 2n + 2a, 2y = 2m + 2b, x+y = (n+m)+(a+b)

Passo 3

Em termos de n,m,a,b temos
[2x] = 2n + [2a], [2y] = 2m + [2b], [x+y] = n + m + [a+b]
Logo o lado esquerdo da desigualdade fica
[2x]+[2y] = 2n + [2a] + 2m + [2b] = 2(n+m) + l([2a]+[2b]r),
e o lado direito é
[x]+[y]+[x+y] = n + m + l(n + m + [a+b]r) = 2(n+m) + [a+b]

Passo 4

Subtraindo 2(n+m) de ambos os lados, basta mostrar
[2a] + [2b] ;>=; [a+b]
Agora observamos dois casos sobre a+b:
  1. Se a+b<1, então [a+b]=0. Como [2a]>=0 e [2b]>=0, segue
    [2a]+[2b];>=;0 = [a+b]
  2. Se a+b>=1, então [a+b]=1. Nesse caso não é possível ter simultaneamente a<tfrac12 e b<tfrac12, pois isso implicaria a+b<1. Logo pelo menos um de a ou b é >=tfrac12, de onde [2a]=1 ou [2b]=1. Assim
    [2a]+[2b];>=;1 = [a+b]
Em ambos os casos a desigualdade é satisfeita.

Resposta

A desigualdade
[2x]+[2y];>=;[x]+[x+y]+[y]
é verdadeira para quaisquer x,yinR.

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