1. Sejam A=2^2 m times 3^p times 5 e B=2^p times 5^m. Sabendo-se que o mdc desses números é 40 e o mmc igual a 10.800, determine os valores naturais de m e p.

Passo 1

O enunciado dá os números
A = 2^2mtimes 3^ptimes 5^1, B = 2^ptimes 5^m,
e informa que
gcd(A,B)=40, lcm(A,B)=10800
O conteúdo aqui é fatoração em primos e uso das propriedades
exp!q(gcd)=min e exp!q(lcm)=max dos expoentes na fatoração em primos.

Passo 2

Fatoramos 40 e 10800 em primos:
40 = 2^3times 5^1, 10800 = 2^4times 3^3times 5^2
Logo, para cada primo qin2,3,5 temos
minl(expq(A),expq(B)r) =expq(gcd)=3,&q=2,0,&q=3,1,&q=5,
maxl(expq(A),expq(B)r) =expq(lcm)=4,&q=2,3,&q=3,2,&q=5

Passo 3

Para q=3, temos exp3(A)=p e exp3(B)=0.
Então
min(p,0)=0,max(p,0)=3
implica p=3.

Passo 4

Para q=2, exp2(A)=2m e exp2(B)=p=3.
As condições são
min(2m,3)=3, max(2m,3)=4
Da primeira vem 2m>=3. Da segunda, como 2m>=3, temos max=2m=4, logo
2m=4implies m=2

Passo 5

Para q=5, exp5(A)=1 e exp5(B)=m=2.
Então
min(1,2)=1, max(1,2)=2,
coerente com a fatoração de gcd e de lcm.

Resposta

m=2 e p=3.

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