1. Suponha dois cometas: um aparecendo a cada 20 anos e, outro, a cada 30 anos. Se em 1960 tivessem ambos aparecido, pergunta-se: quantas novas coincidências haverão até o ano 2.500 ?
    a) 6
    b) 7
    c) 8
    d) 9

Passo 1

O enunciado diz que dois cometas aparecem periodicamente a cada 20 anos e a cada 30 anos, e que ambos apareceram juntos em 1960. Queremos saber quantas novas vezes – excluindo 1960 – eles voltarão a coincidir até o ano 2500. O conteúdo usado será o conceito de mínimo múltiplo comum (MMC) e a contagem de termos numa progressão aritmética.

Passo 2

Para achar o intervalo entre coincidências, calculamos o MMC de 20 e 30. Fatorando:
20 = 2^2 cdot 5, 30 = 2 cdot 3 cdot 5,
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mmc(20,30) = 2^2cdot3cdot5 = 60

Passo 3

As coincidências ocorrem nos anos
1960 + 60n, n = 0,1,2,dots
Queremos contar os valores de n>=1 tais que
1960 + 60n <= 2500
Isto é equivalente a
60n <= 540 Longrightarrow n <= 9
Portanto n pode ser 1,2,dots,9, dando 9 novas coincidências.

Resposta

d) 9

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