1. O mdc de dois números é 75 ; o maior deles é 300 e, o menor, é diferente de 75. O menor é, portanto:
    a) 5^3
    b) 3 times 5^3
    c) 3^2 times 5^2
    d) 2 times 3 times 5^2

Passo 1

O enunciado diz que o máximo divisor comum de dois números é 75, que o maior desses números é 300 e que o menor é diferente de 75. O conteúdo aqui é cálculo de gcd usando fatoração em primos.

Passo 2

Seja x o menor número. Como gcd(300,x)=75, podemos escrever
x = 75k
para algum inteiro k. Além disso,
gcd(300,x)=75 Long<=ftrightarrow gcdl(300/75,;kr)=1 Long<=ftrightarrow gcd(4,k)=1

Passo 3

Precisamos de k>1 (pois xneq75) e de gcd(4,k)=1. Testando valores inteiros crescentes:
  • Para k=2: gcd(4,2)=2neq1, não vale.
  • Para k=3: gcd(4,3)=1 e então
x = 75 times 3 = 225,
que é menor que 300.

Passo 4

Verificamos que 225 = 3^2times5^2, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) 3^2 times 5^2

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