Sejam a e b inteiros primos entre si. Prove que:
mdc(a+b, a^2+b^2)=1 ou 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a e b são inteiros tais que gcd(a,b)=1, então
gcdl(a+b,;a^2+b^2r);=;1ou2
O conteúdo principal é o Algoritmo de Euclides para o cálculo de gcd e a propriedade
gcd(u,vw)=gcdl(u,;vr)timesgcdl(u/gcd(u,v),;wr),
em particular, o caso simples: se gcd(u,v)=1 então gcd(u,vw)=gcd(u,w).

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides, subtraímos de a^2+b^2 o múltiplo (a-b)(a+b) sem alterar o gcd. Assim
gcdl(a+b,;a^2+b^2r) =gcdl(a+b,;a^2+b^2;-;(a-b)(a+b)r) =gcdl(a+b,;2b^2r)

Passo 3

Como gcd(a,b)=1, temos gcd(a+b,b)=1. Logo também
gcd(a+b,b^2)=1
Pelo fato de gcd(a+b,b^2)=1 podemos simplificar
gcdl(a+b,;2b^2r) =gcdl(a+b,;2r)

Passo 4

Finalmente, gcd(a+b,2) só pode valer 1 ou 2, pois qualquer divisor comum de a+b e 2 é ou 1 ou 2. Portanto
gcdl(a+b,;a^2+b^2r) =gcdl(a+b,2r)in1,2

Resposta

gcd(a+b,;a^2+b^2) é 1 ou 2.

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