Determine o número de soluçōes ( mathrmx0, y0 ), com mathrmx0>0 e mathrmy0>0, para cada uma das equaçōes:
a) 10 x+28 y=1240

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras positivas (x0,y0) da equação linear
10x + 28y = 1240
Este é um problema de equação diofantina de primeira ordem em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação pelo maior divisor comum de 10 e 28, que é 2:
10x+28y2 = 12402 Longrightarrow 5x + 14y = 620

Passo 3

Para encontrar as soluções inteiras, usamos congruência módulo 5:
5x + 14y equiv 620 pmod5 Longrightarrow 14y equiv 620 pmod5 Longrightarrow 4y equiv 0 pmod5 Longrightarrow y equiv 0 pmod5
Logo y = 5k para algum inteiro k.

Passo 4

Substituindo y=5k em 5x+14y=620, temos
5x + 14,(5k) = 620 Longrightarrow 5x + 70k = 620 Longrightarrow x + 14k = 124 Longrightarrow x = 124 - 14k

Passo 5

Impondo x>0 e y>0:
x = 124 - 14k > 0 ;Longrightarrow; k < 12414 ;Longrightarrow; k <= 8,
y = 5k > 0 ;Longrightarrow; k >= 1
Portanto k pode ser 1,2,dots,8, totalizando 8 valores.

Resposta

O número de soluções com x0>0 e y0>0 é 8.

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