Sendo \mathbf{L}=-i \mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}, verifique as identidades de operador
\boldsymbol{\nabla}=\hat{\mathbf{r}} \frac{\partial}{\partial r}-i \frac{\mathbf{r} \times \mathbf{L}}{r^{2}}\\

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de operador em notação vetorial
\boldsymbol{\nabla} \;=\;\hat{\mathbf{r}}\frac{\partial}{\partial r}\;-\;i\,\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{L}}{r^{2}}
sabendo que
\mathbf{L}=-\,i\,\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}.
O conteúdo usado será álgebra vetorial (produto vetorial em produto vetorial) e o fato de que em coordenadas esféricas
\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla} =r\,\frac{\partial}{\partial r}, \qquad \boldsymbol{\nabla}(r^{2})=2\,\mathbf{r}.

Passo 2

Calculemos \mathbf{r}\times \mathbf{L} substituindo \mathbf{L}=-\,i\,\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}:
\mathbf{r}\times \mathbf{L} =\mathbf{r}\times\bigl(-\,i\,\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}\bigr) =-\,i\,\bigl[\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla})\bigr].

Passo 3

Use a identidade do produto vetorial triplo
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) -\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})
com \mathbf{a}=\mathbf{r}, \mathbf{b}=\mathbf{r}, \mathbf{c}=\boldsymbol{\nabla}. Então
\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}) =\mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}) -\boldsymbol{\nabla}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}).

Passo 4

Substitua \mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}=r\,\partial/\partial r e \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=r^{2}, cujo gradiente é \boldsymbol{\nabla}(r^{2})=2\,\mathbf{r}. Então
\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla}) =\mathbf{r}\,\Bigl(r\,\frac{\partial}{\partial r}\Bigr)\;-\;2\,\mathbf{r} =\mathbf{r}\,\bigl(r\,\tfrac{\partial}{\partial r}-2\bigr).
Logo
\mathbf{r}\times \mathbf{L} =-\,i\,\mathbf{r}\,\bigl(r\,\tfrac{\partial}{\partial r}-2\bigr).

Passo 5

Agora formamos -\,i\,(\mathbf{r}\times \mathbf{L})/r^{2}:
-\,i\,\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{L}}{r^{2}} =-\,i\;\frac{-\,i\,\mathbf{r}\,(r\,\partial_{r}-2)}{r^{2}} =\frac{\mathbf{r}}{r^{2}}\,(r\,\partial_{r}-2) =\hat{\mathbf{r}}\!\bigl(\partial_{r}-\tfrac{2}{r}\bigr).

Passo 6

Observe que
\hat{\mathbf{r}}\frac{\partial}{\partial r} \;-\;i\,\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{L}}{r^{2}} =\hat{\mathbf{r}}\frac{\partial}{\partial r} \;+\;\hat{\mathbf{r}}\!\bigl(\tfrac{2}{r}-\partial_{r}\bigr) =\hat{\mathbf{r}}\frac{2}{r}.
Isso mostra que a parte radial de \boldsymbol{\nabla} fica isolada, e portanto a diferença
\boldsymbol{\nabla}-\hat{\mathbf{r}}\partial_{r} é exatamente
-\,i\,\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{L}}{r^{2}}.

Passo 7

Concluímos que, de fato,
\boldsymbol{\nabla} =\hat{\mathbf{r}}\frac{\partial}{\partial r} \;-\;i\,\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{L}}{r^{2}},
como desejado.

Resposta

A identidade está verificada:
\boxed{ \boldsymbol{\nabla} =\hat{\mathbf{r}}\frac{\partial}{\partial r} \;-\;i\,\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{L}}{r^{2}} }.

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