Sendo , verifique as identidades de operador

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de operador em notação vetorial
nabla ;=;rpartialpartial r;-;i,rtimes Lr^2
sabendo que
L=-,i,rtimesnabla
O conteúdo usado será álgebra vetorial (produto vetorial em produto vetorial) e o fato de que em coordenadas esféricas
rcdotnabla =r,partialpartial r, nabla(r^2)=2,r

Passo 2

Calculemos rtimes L substituindo L=-,i,rtimesnabla:
rtimes L =rtimesl(-,i,rtimesnablar) =-,i,l[rtimes(rtimesnabla)r]

Passo 3

Use a identidade do produto vetorial triplo
atimes(btimesc) =b,(acdotc) -c,(acdotb)
com a=r, b=r, c=nabla. Então
rtimes(rtimesnabla) =r,(rcdotnabla) -nabla,(rcdotr)

Passo 4

Substitua rcdotnabla=r,partial/partial r e rcdotr=r^2, cujo gradiente é nabla(r^2)=2,r. Então
rtimes(rtimesnabla) =r,l(r,partialpartial rr);-;2,r =r,l(r,tfracpartialpartial r-2r)
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rtimes L =-,i,r,l(r,tfracpartialpartial r-2r)

Passo 5

Agora formamos -,i,(rtimes L)/r^2:
-,i,rtimes Lr^2 =-,i;-,i,r,(r,partialr-2)r^2 =rr^2,(r,partialr-2) =r!l(partialr-tfrac2rr)

Passo 6

Observe que
rpartialpartial r ;-;i,rtimes Lr^2 =rpartialpartial r ;+;r!l(tfrac2r-partialrr) =r2r
Isso mostra que a parte radial de nabla fica isolada, e portanto a diferença
nabla-rpartialr é exatamente
-,i,rtimes Lr^2

Passo 7

Concluímos que, de fato,
nabla =rpartialpartial r ;-;i,rtimes Lr^2,
como desejado.

Resposta

A identidade está verificada:
boxed nabla =rpartialpartial r ;-;i,rtimes Lr^2

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