Sendo \mathbf{L}=-i \mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}, verifique as identidades de operador
\mathbf{r} \boldsymbol{\nabla}^{2}-\boldsymbol{\nabla}\left(1+r \frac{\partial}{\partial r}\right)=i \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{L}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de operadores em \mathbb{R}^3
\mathbf{r}\,\nabla^2 \;-\;\nabla\!\bigl(1 + r\,\tfrac{\partial}{\partial r}\bigr) \;=\;i\,\nabla\times\mathbf{L},
sabendo que \mathbf{L}=-\,i\,\mathbf{r}\times\nabla.
Para isso vamos usar a identidade vetorial do rotacional de um produto vetorial e analisar o comutador de operadores.

Passo 2

Como \mathbf{L}=-\,i\,\mathbf{r}\times\nabla, temos
i\,\nabla\times\mathbf{L} \;=\; i\,\nabla\times\bigl(-\,i\,\mathbf{r}\times\nabla\bigr) \;=\; \nabla\times\bigl(\mathbf{r}\times\nabla\bigr).

Passo 3

Usamos a identidade
\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{A}\,(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{A}) + (\mathbf{B}\cdot\nabla)\,\mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\nabla)\,\mathbf{B},
com \mathbf{A}=\mathbf{r} e \mathbf{B}=\nabla. Assim
\nabla\times(\mathbf{r}\times\nabla) = \mathbf{r}\,(\nabla\cdot\nabla) - \nabla\,(\nabla\cdot\mathbf{r}) + (\nabla\cdot\nabla)\,\mathbf{r} - (\mathbf{r}\cdot\nabla)\,\nabla.

Passo 4

Agora avaliamos termo a termo:
  1. \nabla\cdot\nabla=\nabla^2.
  2. \nabla\cdot\mathbf{r}=3, mas \nabla(3)=0.
  3. \nabla^2\mathbf{r} aplica laplaciano a cada componente x_i, e \nabla^2 x_i=0.
  4. \mathbf{r}\cdot\nabla=r\,\partial_r.
    Logo
\nabla\times(\mathbf{r}\times\nabla) = \mathbf{r}\,\nabla^2 \;-\; (\mathbf{r}\cdot\nabla)\,\nabla = \mathbf{r}\,\nabla^2 \;-\; \bigl(r\,\partial_r\bigr)\,\nabla.

Passo 5

Precisamos reescrever (r\,\partial_r)\,\nabla de forma que apareça \nabla\,(r\,\partial_r). Note que, como operadores,
(r\,\partial_r)\,\nabla = \nabla\,(r\,\partial_r) \;-\;\nabla.
Este “ -\nabla” extra surge porque ao passar \nabla pela função r aparece a derivada de r.

Passo 6

Substituindo esse resultado em \nabla\times(\mathbf{r}\times\nabla) obtemos
\nabla\times(\mathbf{r}\times\nabla) = \mathbf{r}\,\nabla^2 \;-\; \bigl[\nabla\,(r\,\partial_r)-\nabla\bigr] = \mathbf{r}\,\nabla^2 \;-\; \nabla\!\bigl(1 + r\,\partial_r\bigr).
Isto coincide exatamente com o lado esquerdo da identidade que queríamos verificar.

Resposta

A identidade está verificada:
\mathbf{r}\,\nabla^2 \;-\;\nabla\!\bigl(1 + r\,\tfrac{\partial}{\partial r}\bigr) \;=\;i\,\nabla\times\mathbf{L}.

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