Sendo
, verifique as identidades de operador
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade de operadores em
sabendo que
.
Para isso vamos usar a identidade vetorial do rotacional de um produto vetorial e analisar o comutador de operadores.
Para isso vamos usar a identidade vetorial do rotacional de um produto vetorial e analisar o comutador de operadores.
Passo 2
Como
, temos
Passo 3
Usamos a identidade
com
e
. Assim
Passo 4
Agora avaliamos termo a termo:
-
. -
, mas . -
aplica laplaciano a cada componente , e . -
.
Logo
Passo 5
Precisamos reescrever
de forma que apareça
. Note que, como operadores,
Este “
” extra surge porque ao passar
pela função
aparece a derivada de
.
Passo 6
Substituindo esse resultado em
obtemos
Isto coincide exatamente com o lado esquerdo da identidade que queríamos verificar.
Resposta
A identidade está verificada: