Sendo mathbfL=-i mathbfr times nabla, verifique as identidades de operador
r nabla^2-nabla(1+r partialpartial r)=i nabla times L.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de operadores em R^3
r,nabla^2 ;-;nabla!l(1 + r,tfracpartialpartial rr) ;=;i,nablatimesL,
sabendo que L=-,i,rtimesnabla.
Para isso vamos usar a identidade vetorial do rotacional de um produto vetorial e analisar o comutador de operadores.

Passo 2

Como L=-,i,rtimesnabla, temos
i,nablatimesL ;=; i,nablatimesl(-,i,rtimesnablar) ;=; nablatimesl(rtimesnablar)

Passo 3

Usamos a identidade
nablatimes(AtimesB) = A,(nablacdotB) - B,(nablacdotA) + (Bcdotnabla),A - (Acdotnabla),B,
com A=r e B=nabla. Assim
nablatimes(rtimesnabla) = r,(nablacdotnabla) - nabla,(nablacdotr) + (nablacdotnabla),r - (rcdotnabla),nabla

Passo 4

Agora avaliamos termo a termo:
  1. nablacdotnabla=nabla^2.
  2. nablacdotr=3, mas nabla(3)=0.
  3. nabla^2r aplica laplaciano a cada componente xi, e nabla^2 xi=0.
  4. rcdotnabla=r,partialr.
    Logo
nablatimes(rtimesnabla) = r,nabla^2 ;-; (rcdotnabla),nabla = r,nabla^2 ;-; l(r,partialrr),nabla

Passo 5

Precisamos reescrever (r,partialr),nabla de forma que apareça nabla,(r,partialr). Note que, como operadores,
(r,partialr),nabla = nabla,(r,partialr) ;-;nabla
Este “ -nabla” extra surge porque ao passar nabla pela função r aparece a derivada de r.

Passo 6

Substituindo esse resultado em nablatimes(rtimesnabla) obtemos
nablatimes(rtimesnabla) = r,nabla^2 ;-; l[nabla,(r,partialr)-nablar] = r,nabla^2 ;-; nabla!l(1 + r,partialrr)
Isto coincide exatamente com o lado esquerdo da identidade que queríamos verificar.

Resposta

A identidade está verificada:
r,nabla^2 ;-;nabla!l(1 + r,tfracpartialpartial rr) ;=;i,nablatimesL

Exercícios de Livros Relacionados