2.5.4 O sistema coordenado
é rotacionado através de um ângulo
em sentido anti-horário ao redor de um eixo definido pelo vetor unitário
no sistema
. Em termos das novas coordenadas, o vetor raio se torna
(a) Derive essa expressão partindo de considerações geométricas.
(b) Mostre que ela se reduz, como esperado,
. A resposta, em forma de matriz, aparece na Equação (3.90).
(c) Verifique que
.
(b) Mostre que ela se reduz, como esperado,
(c) Verifique que
Passo 1
O enunciado pede a derivação da fórmula de Rodrigues para a rotação de um vetor
em torno do eixo definido pelo vetor unitário
por um ângulo
, depois mostrar que, se
, a expressão vira a matriz usual de rotação em
, e finalmente verificar que o comprimento do vetor é preservado (
).
Passo 2
Decompomos
em componente paralela a
e componente perpendicular a
:
Note que
está no plano ortogonal a
.
Passo 3
No plano perpendicular a
, a rotação de
por
é
pois
é um vetor também no mesmo plano e ortogonal a
. A componente paralela
permanece inalterada.
Passo 4
Somando as partes paralela e rotacionada,
Reagrupando termos em
,
e
chega-se a
que é exatamente a fórmula desejada.
Passo 5
Para
temos
e
Substituindo em
obtém-se
isto é, na forma matricial:
Passo 6
Para verificar
note que
,
e
são mutuamente ortogonais. A rotação só mistura
e
em um plano, preservando o módulo dessa combinação. Como
também não muda, conclui-se
Resposta
(a)
(b) Para
,
(c)