2.5.4 O sistema coordenado (x, y, z) é rotacionado através de um ângulo Phi em sentido anti-horário ao redor de um eixo definido pelo vetor unitário n no sistema (x^prime, y^prime, z^prime). Em termos das novas coordenadas, o vetor raio se torna
r^prime=r cos Phi+r times n sen Phi+n(n cdot r)(1-cos Phi)
(a) Derive essa expressão partindo de considerações geométricas.
(b) Mostre que ela se reduz, como esperado, n=z. A resposta, em forma de matriz, aparece na Equação (3.90).
(c) Verifique que r^prime 2=r^2.

Passo 1

O enunciado pede a derivação da fórmula de Rodrigues para a rotação de um vetor r em torno do eixo definido pelo vetor unitário n por um ângulo Phi, depois mostrar que, se n=z, a expressão vira a matriz usual de rotação em z, e finalmente verificar que o comprimento do vetor é preservado ( r'^2=r^2).

Passo 2

Decompomos r em componente paralela a n e componente perpendicular a n:
rparal<=l = n(ncdotr), rperp = r - rparal<=l
Note que rperp está no plano ortogonal a n.

Passo 3

No plano perpendicular a n, a rotação de rperp por Phi é
rperp' = rperpcosPhi + (ntimesr),sinPhi,
pois ntimesr é um vetor também no mesmo plano e ortogonal a rperp. A componente paralela rparal<=l permanece inalterada.

Passo 4

Somando as partes paralela e rotacionada,
r' = rparal<=l + rperp' = n(ncdotr) + l(r-n(ncdotr)r)cosPhi + (ntimesr)sinPhi
Reagrupando termos em r, n(ncdotr) e ntimesr chega-se a
r' = rcosPhi + (ntimesr)sinPhi + n(ncdotr),(1-cosPhi),
que é exatamente a fórmula desejada.

Passo 5

Para temos e
Substituindo em
obtém-se
isto é, na forma matricial:

Passo 6

Para verificar r'^2=r^2 note que rparal<=l, rperp e ntimesr são mutuamente ortogonais. A rotação só mistura rperp e ntimesr em um plano, preservando o módulo dessa combinação. Como rparal<=l também não muda, conclui-se
|r'|^2 = |rparal<=l|^2 + |rperp|^2 = |r|^2

Resposta

(a)
r' = rcosPhi ;+; (ntimesr),sinPhi ;+; n,(ncdotr),(1-cosPhi)
(b) Para n=z,
cosPhi & -sinPhi & 0 sinPhi & cosPhi & 0 0 & 0 & 1
(c)
r'^2 = r^2

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