2.5.4 O sistema coordenado (x, y, z) é rotacionado através de um ângulo \boldsymbol{\Phi} em sentido anti-horário ao redor de um eixo definido pelo vetor unitário \mathbf{n} no sistema \left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right). Em termos das novas coordenadas, o vetor raio se torna
\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r} \cos \boldsymbol{\Phi}+\mathbf{r} \times \mathbf{n} \operatorname{sen} \boldsymbol{\Phi}+\mathbf{n}(\mathbf{n} \cdot \mathbf{r})(1-\cos \boldsymbol{\Phi})
(a) Derive essa expressão partindo de considerações geométricas.
(b) Mostre que ela se reduz, como esperado, \mathbf{n}=\hat{\mathbf{z}}. A resposta, em forma de matriz, aparece na Equação (3.90).
(c) Verifique que r^{\prime 2}=r^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a derivação da fórmula de Rodrigues para a rotação de um vetor \mathbf{r} em torno do eixo definido pelo vetor unitário \mathbf{n} por um ângulo \Phi, depois mostrar que, se \mathbf{n}=\hat{\mathbf{z}}, a expressão vira a matriz usual de rotação em z, e finalmente verificar que o comprimento do vetor é preservado ( r'^2=r^2).

Passo 2

Decompomos \mathbf{r} em componente paralela a \mathbf{n} e componente perpendicular a \mathbf{n}:
\mathbf{r}_{\parallel} = \mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}),\qquad \mathbf{r}_{\perp} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_{\parallel}.
Note que \mathbf{r}_{\perp} está no plano ortogonal a \mathbf{n}.

Passo 3

No plano perpendicular a \mathbf{n}, a rotação de \mathbf{r}_{\perp} por \Phi é
\mathbf{r}_{\perp}' = \mathbf{r}_{\perp}\cos\Phi + (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\,\sin\Phi,
pois \mathbf{n}\times\mathbf{r} é um vetor também no mesmo plano e ortogonal a \mathbf{r}_{\perp}. A componente paralela \mathbf{r}_{\parallel} permanece inalterada.

Passo 4

Somando as partes paralela e rotacionada,
\mathbf{r}' = \mathbf{r}_{\parallel} + \mathbf{r}_{\perp}' = \mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}) + \bigl(\mathbf{r}-\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r})\bigr)\cos\Phi + (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\sin\Phi.
Reagrupando termos em \mathbf{r}, \mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}) e \mathbf{n}\times\mathbf{r} chega-se a
\mathbf{r}' = \mathbf{r}\cos\Phi + (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\sin\Phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r})\,(1-\cos\Phi),
que é exatamente a fórmula desejada.

Passo 5

Para \mathbf{n}=\hat{\mathbf{z}}=(0,0,1) temos \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=z e
\mathbf{n}\times\mathbf{r} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y\x\\\ 0\end{pmatrix}.
Substituindo em
\mathbf{r}'=(x',y',z') obtém-se
x' = x\cos\Phi - y\sin\Phi,\quad y' = x\sin\Phi + y\cos\Phi,\quad z' = z,
isto é, na forma matricial:
\begin{pmatrix}x'\y'\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\Phi & -\sin\Phi & 0\\\ \sin\Phi & \cos\Phi & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.

Passo 6

Para verificar r'^2=r^2 note que \mathbf{r}_{\parallel}, \mathbf{r}_{\perp} e \mathbf{n}\times\mathbf{r} são mutuamente ortogonais. A rotação só mistura \mathbf{r}_{\perp} e \mathbf{n}\times\mathbf{r} em um plano, preservando o módulo dessa combinação. Como \mathbf{r}_{\parallel} também não muda, conclui-se
\|\mathbf{r}'\|^2 = \|\mathbf{r}_{\parallel}\|^2 + \|\mathbf{r}_{\perp}\|^2 = \|\mathbf{r}\|^2.

Resposta

(a)
\mathbf{r}' = \mathbf{r}\cos\Phi \;+\; (\mathbf{n}\times\mathbf{r})\,\sin\Phi \;+\; \mathbf{n}\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r})\,(1-\cos\Phi).
(b) Para \mathbf{n}=\hat{\mathbf{z}},
\begin{pmatrix} \cos\Phi & -\sin\Phi & 0\\\ \sin\Phi & \cos\Phi & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(c)
r'^2 = r^2.

Exercícios de Livros Relacionados