Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como
, mostre que
. Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.
Passo 1
O enunciado define o operador de momento angular
e pede o “ladder operator”
na base de coordenadas esféricas
.
Para isso vamos:
Para isso vamos:
- Escrever
e em coordenadas cartesianas e somá-los. - Reescrever a combinação obtida em termos de derivadas
. - Usar as fórmulas de mudança para
em termos de e dos fatores e .
Passo 2
Em coordenadas cartesianas temos
Logo
Agrupando, fica
Passo 3
Agora usamos as relações em coordenadas esféricas:
Passo 4
Substituindo em
e fatorando
, obtemos três tipos de termos:
- Coeficiente de
:
. - Coeficiente de
:
. - Coeficiente de
:
.
Portanto sobra