Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como mathbfL=-i(r times nabla), mostre que Lx+i Ly=e^i varphi(partialpartial theta+i cotg theta partialpartial varphi). Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.

Passo 1

O enunciado define o operador de momento angular
L = -i,(rtimesnabla)
e pede o “ladder operator”
L+ equiv Lx+iLy
na base de coordenadas esféricas (r,theta,varphi).
Para isso vamos:
  1. Escrever Lx e Ly em coordenadas cartesianas e somá-los.
  2. Reescrever a combinação obtida em termos de derivadas partialx,partialy,partialz.
  3. Usar as fórmulas de mudança para partialx,partialy,partialz em termos de partialr,partialtheta,partialvarphi e dos fatores x+iy e z.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
Lx = -i,(ypartialz - zpartialy), Ly = -i,(zpartialx - xpartialz)
Logo
Lx + iLy = -i,(ypartialz - zpartialy) ;+;(-i),i,(zpartialx - xpartialz) = -i,ypartialz + i,zpartialy + zpartialx - xpartialz
Agrupando, fica
Lx + iLy = z,(partialx + ipartialy);-;(x+iy),partialz

Passo 3

Agora usamos as relações em coordenadas esféricas:
x + i y = rsintheta,e^ivarphi, z = rcostheta,
partialx + ipartialy = e^ivarphil(sintheta,partialr + tfraccosthetar,partialtheta + tfracirsintheta,partialvarphir),
partialz = costheta,partialr - tfracsinthetar,partialtheta

Passo 4

Substituindo em
Lx+iLy = z,(partialx+ipartialy)-(x+iy),partialz
e fatorando e^ivarphi, obtemos três tipos de termos:
  • Coeficiente de partialr:
    rcosthetasintheta - rsinthetacostheta = 0.
  • Coeficiente de partialtheta:
    rcosthetacdotcosthetar + rsinthetacdotsinthetar = cos^2theta+sin^2theta = 1.
  • Coeficiente de partialvarphi:
    rcosthetacdotirsintheta = i,cottheta.
Portanto sobra
Lx + iLy = e^ivarphil(partialtheta + i,cottheta,partialvarphir)

Resposta

Lx + iLy = e^ivarphil(partialpartialtheta + i,cotgtheta,partialpartialvarphir)

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