Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como \mathbf{L}=-i(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}), mostre que L_{x}+i L_{y}=e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right). Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.

Passo 1

O enunciado define o operador de momento angular
\mathbf{L} = -i\,(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla})
e pede o “ladder operator”
L_{+} \equiv L_{x}+iL_{y}
na base de coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi).
Para isso vamos:
  1. Escrever L_x e L_y em coordenadas cartesianas e somá-los.
  2. Reescrever a combinação obtida em termos de derivadas \partial_x,\partial_y,\partial_z.
  3. Usar as fórmulas de mudança para \partial_x,\partial_y,\partial_z em termos de \partial_r,\partial_\theta,\partial_\varphi e dos fatores x+iy e z.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
L_x = -i\,(y\partial_z - z\partial_y), \quad L_y = -i\,(z\partial_x - x\partial_z).
Logo
L_x + iL_y = -i\,(y\partial_z - z\partial_y) \;+\;(-i)\,i\,(z\partial_x - x\partial_z) = -i\,y\partial_z + i\,z\partial_y + z\partial_x - x\partial_z.
Agrupando, fica
L_x + iL_y = z\,(\partial_x + i\partial_y)\;-\;(x+iy)\,\partial_z.

Passo 3

Agora usamos as relações em coordenadas esféricas:
x + i y = r\sin\theta\,e^{i\varphi}, \qquad z = r\cos\theta,
\partial_x + i\partial_y = e^{i\varphi}\Bigl(\sin\theta\,\partial_r + \tfrac{\cos\theta}{r}\,\partial_\theta + \tfrac{i}{r\sin\theta}\,\partial_\varphi\Bigr),
\partial_z = \cos\theta\,\partial_r - \tfrac{\sin\theta}{r}\,\partial_\theta.

Passo 4

Substituindo em
L_x+iL_y = z\,(\partial_x+i\partial_y)-(x+iy)\,\partial_z
e fatorando e^{i\varphi}, obtemos três tipos de termos:
  • Coeficiente de \partial_r:
    r\cos\theta\sin\theta - r\sin\theta\cos\theta = 0.
  • Coeficiente de \partial_\theta:
    r\cos\theta\cdot\frac{\cos\theta}{r} + r\sin\theta\cdot\frac{\sin\theta}{r} = \cos^2\theta+\sin^2\theta = 1.
  • Coeficiente de \partial_\varphi:
    r\cos\theta\cdot\frac{i}{r\sin\theta} = i\,\cot\theta.
Portanto sobra
L_x + iL_y = e^{i\varphi}\Bigl(\partial_\theta + i\,\cot\theta\,\partial_\varphi\Bigr).

Resposta

L_x + iL_y = e^{i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta} + i\,\operatorname{cotg}\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).

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