Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como \mathbf{L}=-i(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}), mostre que L_{x}-i L_{y}=-e^{-i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right). Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.

Passo 1

O enunciado define o operador do momento angular em coordenadas cartesianas por
\mathbf{L}=-i\,(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla})
e pede para mostrar que
L_x - i\,L_y = -\,e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta} - i\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).
Para isso vamos expressar L_x - iL_y em termos das derivadas cartesianas, depois trocar para derivadas esféricas usando as fórmulas de \nabla em coordenadas (r,\theta,\varphi).

Passo 2

Pelas definições em cartesianas temos
L_x = -i\,(y\,\partial_z - z\,\partial_y), \quad L_y = -i\,(z\,\partial_x - x\,\partial_z).
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L_x - i\,L_y = -i\bigl(y\,\partial_z - z\,\partial_y\bigr) \;-\;i\bigl(-i\bigl(z\,\partial_x - x\,\partial_z\bigr)\bigr) = -i\bigl(y\,\partial_z - z\,\partial_y - i\,z\,\partial_x + i\,x\,\partial_z\bigr).

Passo 3

Em coordenadas esféricas temos
x = r\sin\theta\cos\varphi, \quad y = r\sin\theta\sin\varphi, \quad z = r\cos\theta,
e o gradiente
\partial_x = \sin\theta\cos\varphi\,\partial_r + \frac{\cos\theta\cos\varphi}{r}\,\partial_\theta - \frac{\sin\varphi}{r\sin\theta}\,\partial_\varphi,
\partial_y = \sin\theta\sin\varphi\,\partial_r + \frac{\cos\theta\sin\varphi}{r}\,\partial_\theta + \frac{\cos\varphi}{r\sin\theta}\,\partial_\varphi,
\partial_z = \cos\theta\,\partial_r - \frac{\sin\theta}{r}\,\partial_\theta.

Passo 4

Substituindo em
L_x - iL_y = -i\bigl(y\,\partial_z - z\,\partial_y - i\,z\,\partial_x + i\,x\,\partial_z\bigr)
e observando que todos os termos com \partial_r se cancelam, só restam derivadas angulares. Ao agrupar fator e^{-i\varphi} e simplificar, obtém-se
L_x - iL_y = -\,e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta} - i\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).

Resposta

L_x - i\,L_y = -\,e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta} - i\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr).

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