Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como
, mostre que
. Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.
Passo 1
O enunciado define o operador do momento angular em coordenadas cartesianas por
e pede para mostrar que
Para isso vamos expressar
em termos das derivadas cartesianas, depois trocar para derivadas esféricas usando as fórmulas de
em coordenadas
.
Passo 2
Pelas definições em cartesianas temos
Logo
Passo 3
Em coordenadas esféricas temos
e o gradiente
Passo 4
Substituindo em
e observando que todos os termos com
se cancelam, só restam derivadas angulares. Ao agrupar fator
e simplificar, obtém-se