Definido o operador do momento angular da mecânica quântica como mathbfL=-i(r times nabla), mostre que Lx-i Ly=-e^-i varphi(partialpartial theta-i cotg theta partialpartial varphi). Esses são os operadores de levantamento e abaixamento da Seção 4.3.

Passo 1

O enunciado define o operador do momento angular em coordenadas cartesianas por
L=-i,(rtimesnabla)
e pede para mostrar que
Lx - i,Ly = -,e^-ivarphil(partialpartialtheta - i,cottheta,partialpartialvarphir)
Para isso vamos expressar Lx - iLy em termos das derivadas cartesianas, depois trocar para derivadas esféricas usando as fórmulas de nabla em coordenadas (r,theta,varphi).

Passo 2

Pelas definições em cartesianas temos
Lx = -i,(y,partialz - z,partialy), Ly = -i,(z,partialx - x,partialz)
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Lx - i,Ly = -il(y,partialz - z,partialyr) ;-;il(-il(z,partialx - x,partialzr)r) = -il(y,partialz - z,partialy - i,z,partialx + i,x,partialzr)

Passo 3

Em coordenadas esféricas temos
x = rsinthetacosvarphi, y = rsinthetasinvarphi, z = rcostheta,
e o gradiente
partialx = sinthetacosvarphi,partialr + costhetacosvarphir,partialtheta - sinvarphirsintheta,partialvarphi,
partialy = sinthetasinvarphi,partialr + costhetasinvarphir,partialtheta + cosvarphirsintheta,partialvarphi,
partialz = costheta,partialr - sinthetar,partialtheta

Passo 4

Substituindo em
Lx - iLy = -il(y,partialz - z,partialy - i,z,partialx + i,x,partialzr)
e observando que todos os termos com partialr se cancelam, só restam derivadas angulares. Ao agrupar fator e^-ivarphi e simplificar, obtém-se
Lx - iLy = -,e^-ivarphil(partialpartialtheta - i,cottheta,partialpartialvarphir)

Resposta

Lx - i,Ly = -,e^-ivarphil(partialpartialtheta - i,cottheta,partialpartialvarphir)

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