2.5.11 Uma partícula m entra em movimento reagindo a uma força central conforme a segunda lei de Newton
m \ddot{\mathbf{r}}=\hat{\mathbf{r}} f(r)
Mostre que \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}}=\mathbf{c}, uma constante, e que a interpretação geométrica dessa expressão leva à segunda lei de Kepler.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m sujeita a uma força central que aponta sempre na direção de \hat{\mathbf{r}} e de módulo f(r). O que precisamos mostrar é que o vetor
\mathbf{c} = \mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}
é constante no tempo e, em seguida, interpretar geometricamente essa conservação para deduzir a segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).

Passo 2

Definimos o momento angular por unidade de massa como
\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}.
Derivando em relação ao tempo:
\frac{d\mathbf{L}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\bigr) =\dot{\mathbf{r}}\times\dot{\mathbf{r}}+\mathbf{r}\times\ddot{\mathbf{r}} =\mathbf{0}+\mathbf{r}\times\Bigl(\frac{\hat{\mathbf{r}}\,f(r)}{m}\Bigr).
Mas \mathbf{r} é paralelo a \hat{\mathbf{r}}, logo \mathbf{r}\times\hat{\mathbf{r}}=\mathbf{0}. Portanto
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{c},
onde \mathbf{c} é um vetor constante.

Passo 3

Como \mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{c} tem direção fixa, o movimento fica restrito a um plano perpendicular a \mathbf{c}. Agora, considere o elemento de área dA varrido pelo vetor posição \mathbf{r} em um tempo dt. Para dt pequeno, o triângulo formado por \mathbf{r} e \mathbf{r}+d\mathbf{r} tem área
dA=\tfrac12\bigl|\mathbf{r}\times d\mathbf{r}\bigr| =\tfrac12\bigl|\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}\bigr|\,dt =\tfrac12\,|\mathbf{c}|\,dt.
Isso mostra que
\frac{dA}{dt}=\frac{|\mathbf{c}|}{2}=\text{constante},
ou seja, em tempos iguais a partícula varre áreas iguais. Essa é exatamente a segunda lei de Kepler.

Resposta

\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{c} (constante) e, geometricamente,
\frac{dA}{dt}=\frac{|\mathbf{c}|}{2}=\text{constante},
o que corresponde à segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).

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