2.5.11 Uma partícula m entra em movimento reagindo a uma força central conforme a segunda lei de Newton
m ddotr=r f(r)
Mostre que r times dotr=c, uma constante, e que a interpretação geométrica dessa expressão leva à segunda lei de Kepler.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m sujeita a uma força central que aponta sempre na direção de r e de módulo f(r). O que precisamos mostrar é que o vetor
c = rtimesdotr
é constante no tempo e, em seguida, interpretar geometricamente essa conservação para deduzir a segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).

Passo 2

Definimos o momento angular por unidade de massa como
L=rtimesdotr
Derivando em relação ao tempo:
dLdt =ddtl(rtimesdotrr) =dotrtimesdotr+rtimesddotr =0+rtimesl(r,f(r)mr)
Mas r é paralelo a r, logo rtimesr=0. Portanto
dLdt=0 Longrightarrow L=rtimesdotr=c,
onde c é um vetor constante.

Passo 3

Como rtimesdotr=c tem direção fixa, o movimento fica restrito a um plano perpendicular a c. Agora, considere o elemento de área dA varrido pelo vetor posição r em um tempo dt. Para dt pequeno, o triângulo formado por r e r+dr tem área
dA=tfrac12l|rtimes drr| =tfrac12l|rtimesdotrr|,dt =tfrac12,|c|,dt
Isso mostra que
dAdt=|c|2=constante,
ou seja, em tempos iguais a partícula varre áreas iguais. Essa é exatamente a segunda lei de Kepler.

Resposta

rtimesdotr=c (constante) e, geometricamente,
dAdt=|c|2=constante,
o que corresponde à segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).

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