2.5.11 Uma partícula
entra em movimento reagindo a uma força central conforme a segunda lei de Newton
Mostre que
, uma constante, e que a interpretação geométrica dessa expressão leva à segunda lei de Kepler.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
sujeita a uma força central que aponta sempre na direção de
e de módulo
. O que precisamos mostrar é que o vetor
é constante no tempo e, em seguida, interpretar geometricamente essa conservação para deduzir a segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).
é constante no tempo e, em seguida, interpretar geometricamente essa conservação para deduzir a segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).
Passo 2
Definimos o momento angular por unidade de massa como
Derivando em relação ao tempo:
Mas
é paralelo a
, logo
. Portanto
onde
é um vetor constante.
Passo 3
Como
tem direção fixa, o movimento fica restrito a um plano perpendicular a
. Agora, considere o elemento de área
varrido pelo vetor posição
em um tempo
. Para
pequeno, o triângulo formado por
e
tem área
Isso mostra que
ou seja, em tempos iguais a partícula varre áreas iguais. Essa é exatamente a segunda lei de Kepler.
Resposta
o que corresponde à segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).