Na série
, os numeradores formam a sucessão de inteiros positivos, os denominadores formam a sucessão de números ímpares começando em 3 e os termos têm sinais alternados.
(a) Escreva a série usando a notação de somatório.
(b) Mostre que a série diverge.
(a) Escreva a série usando a notação de somatório.
(b) Mostre que a série diverge.
Passo 1
O enunciado apresenta a série
em que os numeradores são
, os denominadores são os ímpares começando em
, e os sinais alternam. O conteúdo envolve séries infinitas e, para estudar convergência, vamos usar o teste do termo geral (que diz que, se o termo geral não tende a zero, a série diverge).
Passo 2
Para escrever a série em notação de somatório, indexamos por
. O
-ésimo numerador é
e o denominador é
. Como os sinais alternam começando positivo, multiplica-se por
. Logo,
Passo 3
Para mostrar que a série diverge, aplicamos o teste do termo geral. O
-ésimo termo é
Calculamos o limite:
que não é zero. Como condição necessária para convergência de uma série é
, concluímos que a série diverge.
Resposta
(a)
(b) A série diverge, pois .
(b) A série diverge, pois