Na série 1 / 3-2 / 5+3 / 7-4 / 9+ldots, os numeradores formam a sucessão de inteiros positivos, os denominadores formam a sucessão de números ímpares começando em 3 e os termos têm sinais alternados.
(a) Escreva a série usando a notação de somatório.
(b) Mostre que a série diverge.

Passo 1

O enunciado apresenta a série
13 ;-;25;+;37;-;49;+;cdots
em que os numeradores são 1,2,3,4,dots, os denominadores são os ímpares começando em 3, e os sinais alternam. O conteúdo envolve séries infinitas e, para estudar convergência, vamos usar o teste do termo geral (que diz que, se o termo geral não tende a zero, a série diverge).

Passo 2

Para escrever a série em notação de somatório, indexamos por n=1,2,3,dots. O n-ésimo numerador é n e o denominador é 2n+1. Como os sinais alternam começando positivo, multiplica-se por (-1)^n-1. Logo,
série ;=;sumn=1^infty(-1)^n-1,n2n+1 é

Passo 3

Para mostrar que a série diverge, aplicamos o teste do termo geral. O n-ésimo termo é
an = (-1)^n-1,n2n+1
Calculamos o limite:
limntoinftyan =limntoinfty(-1)^n-1,n2n+1 =pm12,
que não é zero. Como condição necessária para convergência de uma série é limntoinftyan=0, concluímos que a série diverge.

Resposta

(a) sumn=1^infty(-1)^n-1,n2n+1
(b) A série diverge, pois limntoinfty(-1)^n-1n2n+1neq0.

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